题目

Problem

The curve $C$ has equation $y=f(x)$ , $x>0$ .

Given that

$f'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x}}+\dfrac{A}{x^2}+3$ , where $A$ is a constant
$f''(x)=0$ when $x=4$

(a) find the value of $A$ .

(4)

Given also that

$f(x)=8\sqrt3$ , when $x=12$

(b) find $f(x)$ , giving each term in simplest form.

(5)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，其中 $x>0$ 。

已知：

$f'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x}}+\dfrac{A}{x^2}+3$ ，其中 $A$ 是常数
当 $x=4$ 时， $f''(x)=0$

(a) 求 $A$ 的值。

另已知：

当 $x=12$ 时， $f(x)=8\sqrt3$

(b) 求 $f(x)$ ，并将每一项写成最简形式。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把 $f'(x)$ 写成指数形式，再求导得到 $f''(x)$ 。然后代入 $x=4$ 和 $f''(4)=0$ 求 $A$ 。

答题过程

展开

Rewrite

\begin{align*} f'(x)=2x^{-\frac12}+Ax^{-2}+3. \end{align*}

Differentiate:

\begin{align*} f''(x) =&\,2\left(-\frac12\right)x^{-\frac32} -2Ax^{-3}\\ =&\,-x^{-\frac32}-2Ax^{-3}. \end{align*}

Since $f''(4)=0$ ,

\begin{align*} -4^{-\frac32}-2A(4^{-3})=&\,0. \end{align*}

Now

\begin{align*} 4^{-\frac32}=\frac18, \qquad 4^{-3}=\frac1{64}. \end{align*}

\begin{align*} -\frac18-\frac{2A}{64}=&\,0\\ -\frac18-\frac{A}{32}=&\,0\\ A=&\,-4. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

把 $A=-4$ 代回 $f'(x)$ ，积分得到 $f(x)$ 。再用 $f(12)=8\sqrt3$ 求常数。

答题过程

展开

Using $A=-4$ ,

\begin{align*} f'(x)=2x^{-\frac12}-4x^{-2}+3. \end{align*}

Integrate:

\begin{align*} f(x) =&\,\int \left(2x^{-\frac12}-4x^{-2}+3\right)\,\mathrm{d}x\\ =&\,4x^{\frac12}+4x^{-1}+3x+c\\ =&\,4\sqrt{x}+\frac4x+3x+c. \end{align*}

Use $f(12)=8\sqrt3$ :

\begin{align*} 8\sqrt3 =&\,4\sqrt{12}+\frac4{12}+3(12)+c\\ =&\,8\sqrt3+\frac13+36+c. \end{align*}

Hence

\begin{align*} c=-\frac{109}{3}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} f(x)=4\sqrt{x}+\frac4x+3x-\frac{109}{3}. \end{align*}

P1 2022 May Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程