题目

Problem

(a) On Diagram 1, sketch a graph of the curve $C$ with equation

\begin{align*} y=\frac6x, \qquad x\ne0. \end{align*}

Diagram 1

(2)

The curve $C$ is transformed onto the curve with equation

\begin{align*} y=\frac6{x-2}, \qquad x\ne2. \end{align*}

(b) Fully describe this transformation.

(2)

The curve with equation

\begin{align*} y=\frac6{x-2}, \qquad x\ne2 \end{align*}

and the line with equation

\begin{align*} y=kx+7, \qquad \text{where } k \text{ is a constant} \end{align*}

intersect at exactly two points, $P$ and $Q$ .

Given that the $x$ coordinate of point $P$ is $-4$ ,

(2)

(d) find, using algebra, the coordinates of point $Q$ .

(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

$y=\frac6x$ 是正比例系数的 reciprocal graph。它在第一、第三象限，各自靠近但不接触两条坐标轴，坐标轴就是渐近线。

答题过程

展开

The graph of

\begin{align*} y=\frac6x \end{align*}

has two branches:

one branch in quadrant I,
one branch in quadrant III.

It has asymptotes

\begin{align*} x=0 \quad\text{and}\quad y=0. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

把 $x$ 替换成 $x-2$ ，图像会向右平移 $2$ 个单位。

答题过程

展开

The transformation from

\begin{align*} y=\frac6x \end{align*}

\begin{align*} y=\frac6{x-2} \end{align*}

is a translation $2$ units to the right.

(c)

解法一

思路

展开

点 $P$ 同时在曲线和直线上。已知 $x=-4$ ，先从曲线求出 $y$ ，再代入直线求 $k$ 。

答题过程

展开

When $x=-4$ on the curve,

\begin{align*} y =&\,\frac6{-4-2}\\ =&\,\frac6{-6}\\ =&\,-1. \end{align*}

Since $P$ also lies on the line $y=kx+7$ ,

\begin{align*} -1=&\,k(-4)+7\\ -8=&\,-4k\\ k=&\,2. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

上一小题得到直线是 $y=2x+7$ 。把直线和曲线联立，解出两个交点的 $x$ 坐标，其中一个是 $-4$ ，另一个就是点 $Q$ 的 $x$ 坐标。

答题过程

展开

Using $k=2$ , the line is

\begin{align*} y=2x+7. \end{align*}

At the intersections,

\begin{align*} \frac6{x-2}=&\,2x+7. \end{align*}

Multiply by $x-2$ :

\begin{align*} 6=&\,(x-2)(2x+7)\\ =&\,2x^2+7x-4x-14\\ =&\,2x^2+3x-14. \end{align*}

\begin{align*} 2x^2+3x-20=&\,0\\ (2x-5)(x+4)=&\,0. \end{align*}

Thus

\begin{align*} x=\frac52 \quad\text{or}\quad x=-4. \end{align*}

The point $P$ has $x=-4$ , so point $Q$ has

\begin{align*} x=\frac52. \end{align*}

Then

\begin{align*} y =&\,2\left(\frac52\right)+7\\ =&\,12. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} Q=\left(\frac52,12\right). \end{align*}

IAL 2023 Jan Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程