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IAL 2023 May Q6

A Level / Edexcel / P1

IAL 2023 May Paper · Question 6

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(a) Expand and simplify

(r−1r)2.\begin{align*} \left(r-\frac1r\right)^2. \end{align*}
(2)

(b) Express 13+22\dfrac{1}{3+2\sqrt2} in the form p+q2p+q\sqrt2 where pp and qq are integers.

(2)

(c) Use the results of parts (a) and (b), or otherwise, to show that

3+22−13+22=2.\begin{align*} \sqrt{3+2\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt2}}=2. \end{align*}
(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

用 (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。这里 a=ra=r，b=1rb=\frac1r。

答题过程

展开 (r−1r)2= r2−2(r)(1r)+1r2= r2−2+1r2.\begin{align*} \left(r-\frac1r\right)^2 =&\,r^2-2\left(r\right)\left(\frac1r\right)+\frac{1}{r^2}\\ =&\,r^2-2+\frac{1}{r^2}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用共轭 3−223-2\sqrt2 有理化分母。

答题过程

展开 13+22= 13+22⋅3−223−22= 3−229−(22)2= 3−229−8= 3−22.\begin{align*} \frac{1}{3+2\sqrt2} =&\,\frac{1}{3+2\sqrt2}\cdot \frac{3-2\sqrt2}{3-2\sqrt2}\\ =&\,\frac{3-2\sqrt2}{9-(2\sqrt2)^2}\\ =&\,\frac{3-2\sqrt2}{9-8}\\ =&\,3-2\sqrt2. \end{align*}

So

p=3,q=−2.\begin{align*} p=3,\qquad q=-2. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

直接使用 (b) 的结果，把分式换成 3−223-2\sqrt2，根式项会抵消。 不过题目中的式子含有平方根，所以最稳的方法是先令 r=3+22r=\sqrt{3+2\sqrt2}，再使用 (a) 的展开结果证明左边的平方等于 44。由于左边为正，所以左边等于 22。

答题过程

展开

Let

r=3+22.\begin{align*} r=\sqrt{3+2\sqrt2}. \end{align*}

Then

r2=3+22.\begin{align*} r^2=3+2\sqrt2. \end{align*}

Using part (a),

(r−1r)2= r2−2+1r2.\begin{align*} \left(r-\frac1r\right)^2 =&\,r^2-2+\frac{1}{r^2}. \end{align*}

From part (b),

1r2= 13+22= 3−22.\begin{align*} \frac{1}{r^2} =&\,\frac{1}{3+2\sqrt2}\\ =&\,3-2\sqrt2. \end{align*}

Therefore

(r−1r)2= (3+22)−2+(3−22)= 4.\begin{align*} \left(r-\frac1r\right)^2 =&\,(3+2\sqrt2)-2+(3-2\sqrt2)\\ =&\,4. \end{align*}

So

r−1r=2,\begin{align*} r-\frac1r=2, \end{align*}

since r−1rr-\frac1r is positive.

Hence

3+22−13+22=2.\begin{align*} \sqrt{3+2\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt2}}=2. \end{align*}

解法二

思路

展开

去分母后两边平方证明恒等式法（Otherwise）。 我们也可以不使用第一问的结论。原待证等式为 3+22−13+22=2\sqrt{3+2\sqrt2} - \frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt2}} = 2。 将等式两边同乘以分母 3+22\sqrt{3+2\sqrt2}，得到 3+22−1=23+223+2\sqrt2 - 1 = 2\sqrt{3+2\sqrt2}，化简为 2+22=23+222+2\sqrt2 = 2\sqrt{3+2\sqrt2}。 两边同除以 22，得到 1+2=3+221+\sqrt2 = \sqrt{3+2\sqrt2}。 接着我们将等式两边平方，左侧展开为 (1+2)2=3+22(1+\sqrt2)^2 = 3+2\sqrt2，右侧为 3+223+2\sqrt2。 因为两边均为正数，且它们的平方相等，因此原恒等式成立。

答题过程

展开

To show that

3+22−13+22=2,\begin{align*} \sqrt{3+2\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt2}}=2, \end{align*}

we can multiply both sides of the equation by 3+22\sqrt{3+2\sqrt2} to clear the denominator:

(3+22)2−1=  23+22(3+22)−1=  23+222+22=  23+22.\begin{align*} \left(\sqrt{3+2\sqrt2}\right)^2 - 1 =&\,\, 2\sqrt{3+2\sqrt2}\\[3mm] (3 + 2\sqrt{2}) - 1 =&\,\, 2\sqrt{3+2\sqrt2}\\[3mm] 2 + 2\sqrt{2} =&\,\, 2\sqrt{3+2\sqrt2}. \end{align*}

Divide both sides by 2:

1+2=3+22.1 + \sqrt{2} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}.

Square both sides of the equation to verify:

LHS2=  (1+2)2=  1+22+2=  3+22,RHS2=  (3+22)2=  3+22.\begin{align*} \text{LHS}^2 =&\,\, (1 + \sqrt{2})^2\\[3mm] =&\,\, 1 + 2\sqrt{2} + 2\\[3mm] =&\,\, 3 + 2\sqrt{2},\\[3mm] \text{RHS}^2 =&\,\, \left(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\right)^2\\[3mm] =&\,\, 3 + 2\sqrt{2}. \end{align*}

\begin{align*} Since both sides are positive and LHS2=RHS2\text{LHS}^2 = \text{RHS}^2, the identity is verified: \end{align*}

3+22−13+22=2.\sqrt{3+2\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt2}}=2.