题目

Problem

Figure 4 shows a sketch of part of the curve $C_1$ with equation

\begin{align*} y=3\cos\left(\frac{x}{n}\right),\qquad x\ge0, \end{align*}

where $n$ is a constant.

The curve $C_1$ cuts the positive $x$ -axis for the first time at point $P(270,0)$ , as shown in Figure 4.

(a) (i) State the value of $n$

(ii) State the period of $C_1$

(2)

The point $Q$ , shown in Figure 4, is a minimum point of $C_1$ .

(b) State the coordinates of $Q$ .

(2)

The curve $C_2$ has equation $y=2\sin x+k$ , where $k$ is a constant.

The point $R\left(a,\dfrac{12}{5}\right)$ and the point $S\left(-a,-\dfrac35\right)$ both lie on $C_2$ .

Given that $a$ is a constant less than $90$ ,

(2)

题目中文翻译

图 4 展示了曲线 $C_1$ 的一部分草图，其方程为

y=3\cos\left(\frac{x}{n}\right),\qquad x\ge0,

其中 $n$ 为常数。

如图 4 所示，曲线 $C_1$ 第一次与正 $x$ 轴相交于点 $P(270,0)$ 。

(a) (i) 写出 $n$ 的值；

(ii) 写出 $C_1$ 的周期。

图 4 中的点 $Q$ 是 $C_1$ 的一个最低点。

(b) 写出点 $Q$ 的坐标。

曲线 $C_2$ 的方程为 $y=2\sin x+k$ ，其中 $k$ 为常数。

点 $R\left(a,\dfrac{12}{5}\right)$ 和点 $S\left(-a,-\dfrac35\right)$ 均在 $C_2$ 上。

已知 $a$ 是小于 $90$ 的常数。

解答

(a)

解法一

思路

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$\cos u$ 第一次等于 $0$ 时是 $u=90^\circ$ 。题目说第一次正 $x$ 截距是 $x=270$ ，所以令 $\frac{x}{n}=90^\circ$ 。

答题过程

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For

\begin{align*} y=3\cos\left(\frac{x}{n}\right), \end{align*}

the first positive $x$ -intercept occurs when

\begin{align*} \frac{x}{n}=90^\circ. \end{align*}

Since this happens at $x=270$ ,

\begin{align*} \frac{270}{n}=&\,90\\ n=&\,3. \end{align*}

The period is

\begin{align*} 360n=360(3)=1080. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} n=3,\qquad \text{period}=1080. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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当 $n=3$ 时，曲线是 $y=3\cos\left(\frac{x}{3}\right)$ 。最小值为 $-3$ 。图中标出的 $Q$ 是后面的那个最低点，对应 $x=1620$ 。

答题过程

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The minimum value of $3\cos\left(\frac{x}{3}\right)$ is $-3$ .

The minimum point shown on the graph is at

\begin{align*} x=1620. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} Q=(1620,-3). \end{align*}

(c)

解法一

思路

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两个点都在 $y=2\sin x+k$ 上。利用 $\sin(-a)=-\sin a$ ，把两个点分别代入后相加，可以直接消去 $\sin a$ ，求出 $k$ 。

答题过程

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Since $R\left(a,\frac{12}{5}\right)$ lies on $C_2$ ,

\begin{align*} 2\sin a+k=\frac{12}{5}. \end{align*}

Since $S\left(-a,-\frac35\right)$ lies on $C_2$ ,

\begin{align*} 2\sin(-a)+k=-\frac35. \end{align*}

Using $\sin(-a)=-\sin a$ ,

\begin{align*} -2\sin a+k=-\frac35. \end{align*}

Add the two equations:

\begin{align*} (2\sin a+k)+(-2\sin a+k) =&\,\frac{12}{5}-\frac35\\ 2k=&\,\frac95\\ k=&\,\frac9{10}. \end{align*}

P1 2023 Oct Q10

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程