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P1 2023 Oct Q5

A Level / Edexcel / P1

IAL 2023 Oct Paper · Question 5

题目

Problem

Figure 2 shows the plan view of a frame for a flat roof.

The shape of the frame consists of triangle ABDABD joined to triangle BCDBCD.

Given that

  • BD=xBD=x m
  • CD=(1+x)CD=(1+x) m
  • BC=5BC=5 m
  • angle BCD=θ∘BCD=\theta^\circ

(a) show that

cos⁡θ∘=13+x5+5x.\begin{align*} \cos\theta^\circ=\frac{13+x}{5+5x}. \end{align*}
(2)

Given also that

  • x=23x=2\sqrt3
  • angle BAC=30∘BAC=30^\circ
  • ADCADC is a straight line

(b) find the area of triangle ABCABC, giving your answer, in m2^2, to one decimal place.

(5)
题目中文翻译

图 2 展示了一个平屋顶框架的俯视图。框架由三角形 ABDABD 与三角形 BCDBCD 连接而成。

已知 BD=xBD=x m、CD=(1+x)CD=(1+x) m、BC=5BC=5 m，且角 BCD=θ∘BCD=\theta^\circ。

(a) 证明 cos⁡θ∘=13+x5+5x\cos\theta^\circ=\dfrac{13+x}{5+5x}。

又已知 x=23x=2\sqrt3、角 BAC=30∘BAC=30^\circ，且 ADCADC 为一条直线。

(b) 求三角形 ABCABC 的面积，答案以 m2^2 为单位并精确到一位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

在三角形 BCDBCD 中，已知三边 BD=xBD=x、CD=1+xCD=1+x、BC=5BC=5，要求夹角 θ\theta 的余弦，直接用余弦定理。

答题过程

展开

Using the cosine rule in triangle BCDBCD,

BD2= BC2+CD2−2(BC)(CD)cos⁡θ∘x2= 52+(1+x)2−2(5)(1+x)cos⁡θ∘.\begin{align*} BD^2=&\,BC^2+CD^2-2(BC)(CD)\cos\theta^\circ\\ x^2=&\,5^2+(1+x)^2-2(5)(1+x)\cos\theta^\circ. \end{align*}

Rearrange:

2(5)(1+x)cos⁡θ∘= 25+(1+x)2−x2= 25+1+2x+x2−x2= 26+2x.\begin{align*} 2(5)(1+x)\cos\theta^\circ =&\,25+(1+x)^2-x^2\\ =&\,25+1+2x+x^2-x^2\\ =&\,26+2x. \end{align*}

Therefore

cos⁡θ∘= 26+2x10(1+x)= 2(13+x)10(1+x)= 13+x5+5x.\begin{align*} \cos\theta^\circ =&\,\frac{26+2x}{10(1+x)}\\ =&\,\frac{2(13+x)}{10(1+x)}\\ =&\,\frac{13+x}{5+5x}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先代入 x=23x=2\sqrt3 求出 θ\theta。因为 A,D,CA,D,C 共线，所以 ∠ACB=θ\angle ACB=\theta。在三角形 ABCABC 中，已知 ∠A=30∘\angle A=30^\circ、∠C=θ\angle C=\theta 和边 BC=5BC=5，可用正弦定理求 ABAB，再用 12absin⁡C\frac12 ab\sin C 求面积。

答题过程

展开

Substitute x=23x=2\sqrt3 into the result from part (a):

cos⁡θ∘= 13+235+103.\begin{align*} \cos\theta^\circ =&\,\frac{13+2\sqrt3}{5+10\sqrt3}. \end{align*}

Hence

θ=42.4707…∘.\begin{align*} \theta=42.4707\ldots^\circ. \end{align*}

Since A,D,CA,D,C is a straight line,

∠ACB=θ.\begin{align*} \angle ACB=\theta. \end{align*}

In triangle ABCABC,

∠ABC= 180∘−30∘−θ= 107.5292…∘.\begin{align*} \angle ABC =&\,180^\circ-30^\circ-\theta\\ =&\,107.5292\ldots^\circ. \end{align*}

Using the sine rule,

ABsin⁡θ= BCsin⁡30∘AB= 5sin⁡θsin⁡30∘= 6.7519….\begin{align*} \frac{AB}{\sin\theta} =&\,\frac{BC}{\sin30^\circ}\\ AB =&\,\frac{5\sin\theta}{\sin30^\circ}\\ =&\,6.7519\ldots. \end{align*}

Therefore

Area of ABC= 12(AB)(BC)sin⁡∠ABC= 12(6.7519…)(5)sin⁡(107.5292…∘)= 16.101…= 16.1 m2.\begin{align*} \text{Area of }ABC =&\,\frac12(AB)(BC)\sin\angle ABC\\ =&\,\frac12(6.7519\ldots)(5)\sin(107.5292\ldots^\circ)\\ =&\,16.101\ldots\\ =&\,16.1\text{ m}^2. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先用正弦定理求 ACAC。求出第三个角后，以 ACAC、BCBC 及其夹角 θ\theta 直接计算三角形面积。这条路线与解法一所求的边不同。

答题过程

展开

From part (a), with x=23x=2\sqrt3,

θ= 42.4707…∘,∠ABC= 180∘−30∘−θ= 107.5292…∘.\begin{align*} \theta=&\,42.4707\ldots^\circ,\\ \angle ABC =&\,180^\circ-30^\circ-\theta\\ =&\,107.5292\ldots^\circ. \end{align*}

Using the sine rule,

ACsin⁡(107.5292…∘)= BCsin⁡30∘AC= 5sin⁡(107.5292…∘)sin⁡30∘= 9.5370….\begin{align*} \frac{AC}{\sin(107.5292\ldots^\circ)} =&\,\frac{BC}{\sin30^\circ}\\ AC =&\,\frac{5\sin(107.5292\ldots^\circ)}{\sin30^\circ}\\ =&\,9.5370\ldots. \end{align*}

Therefore

Area of ABC= 12(AC)(BC)sin⁡θ= 12(9.5370…)(5)sin⁡(42.4707…∘)= 16.101…= 16.1 m2.\begin{align*} \text{Area of }ABC =&\,\frac12(AC)(BC)\sin\theta\\ =&\,\frac12(9.5370\ldots)(5)\sin(42.4707\ldots^\circ)\\ =&\,16.101\ldots\\ =&\,16.1\text{ m}^2. \end{align*}