题目

Problem

Figure 3 shows the plan view of the area being used for a ball-throwing competition.

Competitors must stand within the circle $C$ and throw a ball as far as possible into the target area, $PQRS$ , shown shaded in Figure 3.

Given that

circle $C$ has centre $O$
$P$ and $S$ are points on $C$
$OPQRSO$ is a sector of a circle with centre $O$
the length of arc $PS$ is $0.72$ m
the size of angle $POS$ is $0.6$ radians

(a) show that $OP=1.2$ m.

(1)

Given also that

the target area, $PQRS$ , is $90$ m $^2$
length $PQ=x$ metres

(b) show that

\begin{align*} 5x^2+12x-1500=0. \end{align*}

(3)

题目中文翻译

图 3 展示了投球比赛场地的俯视图。

参赛者必须站在圆 $C$ 内，并尽可能远地把球投进图 3 中阴影所示的目标区域 $PQRS$ 。

已知圆 $C$ 的圆心为 $O$ ，点 $P$ 、 $S$ 在圆 $C$ 上， $OPQRSO$ 是以 $O$ 为圆心的扇形，弧 $PS$ 的长度为 $0.72$ m，且角 $POS$ 为 $0.6$ radians。

(a) 证明 $OP=1.2$ m。

又已知目标区域 $PQRS$ 的面积为 $90$ m $^2$ ，且 $PQ=x$ metres。

(b) 证明 $5x^2+12x-1500=0$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

弧长公式是 $s=r\theta$ 。这里弧 $PS$ 的长度是 $0.72$ ，圆心角是 $0.6$ radians，所以半径就是 $OP$ 。

答题过程

展开

Using $s=r\theta$ ,

\begin{align*} 0.72=&\,OP(0.6)\\ OP=&\,\frac{0.72}{0.6}\\ =&\,1.2. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} OP=1.2\text{ m}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

目标区域 $PQRS$ 是大扇形减去小扇形。小半径是 $1.2$ ，而 $PQ=x$ ，所以大半径是 $x+1.2$ 。

答题过程

展开

The radius of the larger sector is

\begin{align*} x+1.2. \end{align*}

The target area is the larger sector minus the smaller sector:

\begin{align*} \frac12(x+1.2)^2(0.6)-\frac12(1.2)^2(0.6)=&\,90. \end{align*}

Since $\frac12(0.6)=0.3$ ,

\begin{align*} 0.3\left((x+1.2)^2-1.2^2\right)=&\,90\\ 0.3\left(x^2+2.4x+1.44-1.44\right)=&\,90\\ 0.3x^2+0.72x=&\,90. \end{align*}

Multiply by $50$ :

\begin{align*} 15x^2+36x=&\,4500\\ 5x^2+12x-1500=&\,0. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

先解 (b) 的二次方程，取正根作为长度 $x$ 。周长由两条直边 $PQ$ 、 $RS$ ，内弧 $PS$ ，以及外弧 $QR$ 组成。外弧半径是 $x+1.2$ ，角度仍是 $0.6$ 。

答题过程

展开

Solve

\begin{align*} 5x^2+12x-1500=0. \end{align*}

Using the quadratic formula,

\begin{align*} x =&\,\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4(5)(-1500)}}{2(5)}\\ =&\,\frac{-12\pm\sqrt{30144}}{10}\\ =&\,\frac{-6\pm2\sqrt{1884}}{5}\\ =&\,\frac{-6\pm4\sqrt{471}}{5}. \end{align*}

Since $x$ is a length,

\begin{align*} x=\frac{-6+4\sqrt{471}}{5}=16.159\ldots. \end{align*}

The outer arc $QR$ has length

\begin{align*} (x+1.2)(0.6). \end{align*}

So the perimeter of $PQRS$ is

\begin{align*} 2x+0.72+0.6(x+1.2) =&\,2(16.159\ldots)+0.72+0.6(17.359\ldots)\\ =&\,43.454\ldots. \end{align*}

Therefore the perimeter is

\begin{align*} 43\text{ m} \end{align*}

to the nearest metre.

P1 2023 Oct Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程