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P1 2024 Jan Q1

A Level / Edexcel / P1

IAL 2024 Jan Paper · Question 1

题目

Problem

Find

∫(2x−5)(3x+2)(2x+5) dx\begin{align*} \int (2x-5)(3x+2)(2x+5)\,\mathrm{d}x \end{align*}

writing your answer in simplest form.

(5)
题目中文翻译

求

∫(2x−5)(3x+2)(2x+5) dx,\int (2x-5)(3x+2)(2x+5)\,\mathrm{d}x,

并把答案写成最简形式。

解答

解法一

思路

展开

先把三个括号完全展开，再逐项积分。这里不要急着积分，因为乘积形式不方便直接使用幂函数积分公式。

答题过程

展开

First expand the product:

(2x−5)(3x+2)= 6x2+4x−15x−10= 6x2−11x−10.\begin{align*} (2x-5)(3x+2) =&\,6x^2+4x-15x-10\\ =&\,6x^2-11x-10. \end{align*}

Hence

(2x−5)(3x+2)(2x+5)= (6x2−11x−10)(2x+5)= 12x3+30x2−22x2−55x−20x−50= 12x3+8x2−75x−50.\begin{align*} (2x-5)(3x+2)(2x+5) =&\,(6x^2-11x-10)(2x+5)\\ =&\,12x^3+30x^2-22x^2-55x-20x-50\\ =&\,12x^3+8x^2-75x-50. \end{align*}

Therefore

∫(2x−5)(3x+2)(2x+5) dx= ∫(12x3+8x2−75x−50) dx= 3x4+83x3−752x2−50x+c.\begin{align*} \int (2x-5)(3x+2)(2x+5)\,\mathrm{d}x =&\,\int (12x^3+8x^2-75x-50)\,\mathrm{d}x\\ =&\,3x^4+\frac{8}{3}x^3-\frac{75}{2}x^2-50x+c. \end{align*}