本题必须写出所有计算步骤。

曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$，其中 $x>0$。

已知：

• 点 $P(2,8\sqrt2)$ 在曲线 $C$ 上；
• $f'(x)=4x^{\frac32}+\dfrac{k}{x^2}$，其中 $k$ 为常数；
• 在点 $P$ 处，$f''(x)=0$。

(a) 求 $k$ 的精确值。

(b) 求 $f(x)$，并把答案写成最简形式。

题目给出的是 $f'(x)$，要使用 $f''(x)=0$，所以先对 $f'(x)$ 再求一次导。然后把点 $P$ 的 $x$ 坐标 $2$ 代入 $f''(x)=0$，解出 $k$。

Rewrite $f'(x)$ as

Differentiate:

Since $f''(x)=0$ at $P$ and $P$ has $x$ coordinate $2$,

Hence

先把 (a) 的 $k$ 代入 $f'(x)$，再积分得到 $f(x)$。最后用 $P(2,8\sqrt2)$ 求积分常数。

Using $k=24\sqrt2$,

Integrate:

Use $P(2,8\sqrt2)$:

So

Therefore