题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

(a) By substituting $p=2^x$ , show that

\begin{align*} 2\times4^x-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4 \end{align*}

can be written as

\begin{align*} 4p^2-33p+8=0. \end{align*}

(3)

(b) Hence solve

\begin{align*} 2\times4^x-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4. \end{align*}

(3)

解答

展开

令 $p=2^x$ 后，要把所有含 $x$ 的指数项都改写成 $p$ 。其中 $4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=p^2$ ，而 $2^{x+3}=8p$ ， $2^{x-1}=\frac12p$ 。

展开

Let

\begin{align*} p=2^x. \end{align*}

Then

\begin{align*} 4^x=&\,(2^2)^x=(2^x)^2=p^2,\\ 2^{x+3}=&\,2^x\cdot2^3=8p,\\ 2^{x-1}=&\,\frac{2^x}{2}=\frac p2. \end{align*}

\begin{align*} 2\times4^x-2^{x+3} =&\,17\times2^{x-1}-4\\ 2p^2-8p=&\,\frac{17p}{2}-4. \end{align*}

Multiplying by $2$ gives

\begin{align*} 4p^2-16p=&\,17p-8\\ 4p^2-33p+8=&\,0. \end{align*}

展开

承接 (a)，先解关于 $p$ 的二次方程，再由 $p=2^x$ 回到 $x$ 。注意 $p=2^x$ 必须为正；本题两个 $p$ 值都为正，所以都可以使用。

展开

From part (a),

\begin{align*} 4p^2-33p+8=&\,0\\ (4p-1)(p-8)=&\,0. \end{align*}

Hence

\begin{align*} p=\frac14 \quad\text{or}\quad p=8. \end{align*}

Since $p=2^x$ ,

\begin{align*} 2^x=&\,\frac14=2^{-2} &&\text{or} &2^x=&\,8=2^3. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} x=-2 \quad\text{or}\quad x=3. \end{align*}