二次曲线有最大转折点，所以它开口向下。已知顶点是 $(2,20)$，并且经过原点。由对称轴 $x=2$ 可知另一个 $x$ 轴截距在 $x=4$。

The graph is a downward-opening parabola with maximum turning point $(2,20)$.

It passes through the origin, so one intercept is

Since the axis of symmetry is $x=2$, the other $x$-intercept is

The sketch should show a downward-opening parabola through $(0,0)$ and $(4,0)$, with maximum point $(2,20)$.

因为两个根是 $0$ 和 $4$，所以可设 $f(x)=Ax(x-4)$。再代入顶点 $(2,20)$ 求 $A$。

Since the roots are $0$ and $4$, let

Using the point $(2,20)$,

Therefore

也可以直接用顶点式。最大点是 $(2,20)$，所以写成 $f(x)=a(x-2)^2+20$。因为开口向下，所以 $a$ 会是负数。

Using vertex form,

Since the curve passes through $(0,0)$,

So

交点满足两个 $y$ 值相等。把 $C_1$ 的表达式与 $x(x^2-4)$ 联立，因式分解后得到三个交点的 $x$ 坐标。题目要 $x$ 坐标为负的点，所以选 $x=-8$。

At intersections of $C_1$ and $C_2$,

Expand both sides:

So

Point $P$ has negative $x$ coordinate, so

Substitute into $C_2$:

Therefore

直接除以 $x$ 的二次降维法。 由于交点 $P$ 的 $x$ 坐标是负数（即 $x \neq 0$），在联立方程 $x(x^2 - 4) = 5x(4-x)$ 时，我们可以直接在等号两边同除以 $x$。 这使我们能够直接得到关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4 = 5(4-x)$，省去了展开和分解三次多项式的步骤，让求解过程更加直接、精炼。

At the intersection points of $C_1$ and $C_2$, we have:

Since point $P$ is not the origin, its $x$-coordinate is non-zero ($x \neq 0$). Thus, we can divide both sides by $x$ directly:

Factorise the quadratic equation:

So

\begin{align*} Since the $x$-coordinate of $P$ is negative: \end{align*}

\begin{align*} Substituting $x = -8$ into $y = x(x^2 - 4)$ gives: \end{align*}

Therefore, the coordinates of $P$ are: