题目

Problem

The curve $C$ has equation $y=f(x)$ where

\begin{align*} f(x)=2x^3-kx^2+14x+24 \end{align*}

and $k$ is a constant.

(a) Find, in simplest form,

(i) $f'(x)$

(ii) $f''(x)$

(3)

The curve with equation $y=f'(x)$ intersects the curve with equation $y=f''(x)$ at the points $A$ and $B$ .

Given that the $x$ coordinate of $A$ is $5$ ,

(b) find the value of $k$ .

(2)

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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逐项求导即可。 $k$ 是常数，所以 $-kx^2$ 的导数是 $-2kx$ 。

答题过程

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\begin{align*} f'(x)=&\,6x^2-2kx+14,\\ f''(x)=&\,12x-2k. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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$y=f'(x)$ 和 $y=f''(x)$ 相交时，有 $f'(x)=f''(x)$ 。已知一个交点的 $x$ 坐标是 $5$ ，所以代入 $x=5$ 解 $k$ 。

答题过程

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At intersections,

\begin{align*} f'(x)=f''(x). \end{align*}

Since $x=5$ is an intersection,

\begin{align*} 6(5)^2-2k(5)+14=&\,12(5)-2k\\ 150-10k+14=&\,60-2k\\ 164-10k=&\,60-2k\\ 104=&\,8k\\ k=&\,13. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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把 $k=13$ 代入 $f'(x)=f''(x)$ ，解出两个交点的 $x$ 坐标。一个是 $A$ 的 $x=5$ ，另一个就是 $B$ 的 $x$ 坐标。再代入 $f''(x)$ 或 $f'(x)$ 求 $y$ 。

答题过程

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Using $k=13$ ,

\begin{align*} f'(x)=&\,6x^2-26x+14,\\ f''(x)=&\,12x-26. \end{align*}

Set them equal:

\begin{align*} 6x^2-26x+14=&\,12x-26\\ 6x^2-38x+40=&\,0\\ 3x^2-19x+20=&\,0\\ (3x-4)(x-5)=&\,0. \end{align*}

\begin{align*} x=\frac43\quad\text{or}\quad x=5. \end{align*}

The point $A$ has $x=5$ , so $B$ has

\begin{align*} x=\frac43. \end{align*}

Now

\begin{align*} y =&\,f''\left(\frac43\right)\\ =&\,12\left(\frac43\right)-26\\ =&\,16-26\\ =&\,-10. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} B=\left(\frac43,-10\right). \end{align*}

IAL 2024 May Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程