题目

Problem

The line $l_1$ passes through the point $A(-5,20)$ and the point $B(3,-4)$ .

(a) Find an equation for $l_1$ giving your answer in the form $y=mx+c$ , where $m$ and $c$ are constants.

(3)

The line $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through the midpoint of $AB$ .

(b) Find an equation for $l_2$ giving your answer in the form $px+qy+r=0$ , where $p$ , $q$ and $r$ are integers.

(3)

题目中文翻译

直线 $l_1$ 经过点 $A(-5,20)$ 和点 $B(3,-4)$ 。

(a) 求 $l_1$ 的方程，并将答案写成 $y=mx+c$ 的形式，其中 $m$ 和 $c$ 为常数。

直线 $l_2$ 与 $l_1$ 垂直，并经过线段 $AB$ 的中点。

(b) 求 $l_2$ 的方程，并将答案写成 $px+qy+r=0$ 的形式，其中 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 为整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先用两点求斜率，再把其中一个点代入 $y=mx+c$ 求截距。

答题过程

展开

The gradient of $l_1$ is

\begin{align*} m =&\,\frac{-4-20}{3-(-5)}\\ =&\,\frac{-24}{8}\\ =&\,-3. \end{align*}

So $l_1$ has equation

\begin{align*} y=-3x+c. \end{align*}

Using $A(-5,20)$ ,

\begin{align*} 20=&\,-3(-5)+c\\ 20=&\,15+c\\ c=&\,5. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} y=-3x+5. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接把两个点代入 $y=mx+c$ ，形成两个联立方程。这种方法不用先背点斜式，但代数要稳。

答题过程

展开

Since $A(-5,20)$ and $B(3,-4)$ lie on $y=mx+c$ ,

\begin{align*} 20=&\,-5m+c,\\ -4=&\,3m+c. \end{align*}

Subtract the second equation from the first:

\begin{align*} 24=&\,-8m\\ m=&\,-3. \end{align*}

Substitute $m=-3$ into $-4=3m+c$ :

\begin{align*} -4=&\,3(-3)+c\\ -4=&\,-9+c\\ c=&\,5. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} y=-3x+5. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

垂直直线的斜率互为负倒数。因为 $l_1$ 的斜率是 $-3$ ，所以 $l_2$ 的斜率是 $\frac13$ 。

$l_2$ 还经过 $AB$ 的中点，所以先求中点，再用点斜式写出直线。

答题过程

展开

The midpoint of $AB$ is

\begin{align*} \left(\frac{-5+3}{2},\frac{20+(-4)}{2}\right) =(-1,8). \end{align*}

Since $l_1$ has gradient $-3$ , the gradient of $l_2$ is

\begin{align*} \frac13. \end{align*}

Using the point $(-1,8)$ ,

\begin{align*} y-8=&\,\frac13(x+1). \end{align*}

Multiply by $3$ :

\begin{align*} 3y-24=&\,x+1\\ x-3y+25=&\,0. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} x-3y+25=0. \end{align*}

P1 2024 Oct Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程