本题必须写出所有解题步骤。

已知

(a) 求 $\displaystyle \int f(x)\,\mathrm{d}x$。

(b)

(i) 证明当 $f'(x)=0$ 时，

(ii) 由此写出使 $f'(x)=0$ 的 $x$ 值。

先展开 $(x+5)^2$，再除以 $\sqrt{x}$，把每一项都写成 $x$ 的幂。这样就可以逐项积分。

Therefore

沿用 (a) 中已经化好的幂形式，逐项求导。令导数等于 $0$ 后，为了去掉负指数和分数，可以乘以 $2x^{3/2}$。

因为题目给了 $x>0$，所以 $x^{3/2}$ 不为 $0$，这样乘过去不会改变方程的解。

From part (a),

Differentiate:

When $f'(x)=0$,

Multiply by $2x^{3/2}$:

This is the required result.

也可以直接从 $f(x)=(x+5)^2x^{-1/2}$ 使用乘积法则求导。把所得导数提出公因式后，再令其等于 $0$，即可得到题目要求的二次方程。

Write

Using the product rule,

Since $x>0$, the factor $\frac12x^{-3/2}$ is non-zero. Hence, when $f'(x)=0$,

This is the required result.

由 (b)(i) 解二次方程即可。最后一定要用 $x>0$ 排除负根。

From part (b)(i),

Factorise:

So

Since $x>0$, reject $x=-5$.

Therefore