题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

\begin{align*} f(x)=\frac{(x+5)^2}{\sqrt{x}},\qquad x>0 \end{align*}

(a) Find $\displaystyle \int f(x)\,dx$ .

(4)

(b) (i) Show that when $f'(x)=0$ ,

\begin{align*} 3x^2+10x-25=0 \end{align*}

(ii) Hence state the value of $x$ for which

\begin{align*} f'(x)=0 \end{align*}

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先展开 $(x+5)^2$ ，再除以 $\sqrt{x}$ ，把每一项都写成 $x$ 的幂。这样就可以逐项积分。

答题过程

展开

\begin{align*} f(x) =&\,\frac{x^2+10x+25}{x^{1/2}}\\ =&\,x^{3/2}+10x^{1/2}+25x^{-1/2}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \int f(x)\,dx =&\,\int\left(x^{3/2}+10x^{1/2}+25x^{-1/2}\right)\,dx\\ =&\,\frac{x^{5/2}}{5/2} +10\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} +25\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}+c\\ =&\,\frac25x^{5/2}+\frac{20}{3}x^{3/2}+50x^{1/2}+c. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

沿用 (a) 中已经化好的幂形式，逐项求导。令导数等于 $0$ 后，为了去掉负指数和分数，可以乘以 $2x^{3/2}$ 。

因为题目给了 $x>0$ ，所以 $x^{3/2}$ 不为 $0$ ，这样乘过去不会改变方程的解。

答题过程

展开

From part (a),

\begin{align*} f(x)=x^{3/2}+10x^{1/2}+25x^{-1/2}. \end{align*}

Differentiate:

\begin{align*} f'(x) =&\,\frac32x^{1/2} +10\cdot\frac12x^{-1/2} +25\cdot\left(-\frac12\right)x^{-3/2}\\ =&\,\frac32x^{1/2}+5x^{-1/2}-\frac{25}{2}x^{-3/2}. \end{align*}

When $f'(x)=0$ ,

\begin{align*} \frac32x^{1/2}+5x^{-1/2}-\frac{25}{2}x^{-3/2}=0. \end{align*}

Multiply by $2x^{3/2}$ :

\begin{align*} 3x^2+10x-25=0. \end{align*}

This is the required result.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

由 (b)(i) 解二次方程即可。最后一定要用 $x>0$ 排除负根。

答题过程

展开

From part (b)(i),

\begin{align*} 3x^2+10x-25=0. \end{align*}

Factorise:

\begin{align*} 3x^2+10x-25 =&\,(3x-5)(x+5). \end{align*}

\begin{align*} (3x-5)(x+5)=&\,0\\ x=&\,\frac53\quad\text{or}\quad x=-5. \end{align*}

Since $x>0$ , reject $x=-5$ .

Therefore

\begin{align*} x=\frac53. \end{align*}

IAL 2024 Oct Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程