题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of part of the curves $C_1$ and $C_2$ .

Given that $C_1$

has equation $y=f(x)$ where $f(x)$ is a quadratic function
cuts the $x$ -axis at the origin and at $x=4$
has a minimum turning point at $(2,-4.8)$

(a) find $f(x)$ .

(3)

Given that $C_2$

has equation $y=g(x)$ where $g(x)$ is a cubic function
cuts the $x$ -axis at the origin and meets the $x$ -axis at $x=4$
passes through the point $(6,7.2)$

(b) find $g(x)$ .

(3)

The curves $C_1$ and $C_2$ meet in the first quadrant at the point $P$ , shown in Figure 1.

(4)

题目中文翻译

图 1 是曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的部分图像示意图。

已知 $C_1$

的方程为 $y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是二次函数；
在原点和 $x=4$ 处与 $x$ 轴相交；
在 $(2,-4.8)$ 处有极小值转折点。

(a) 求 $f(x)$ 。

已知 $C_2$

的方程为 $y=g(x)$ ，其中 $g(x)$ 是三次函数；
在原点穿过 $x$ 轴，并在 $x=4$ 处与 $x$ 轴相切；
经过点 $(6,7.2)$ 。

(b) 求 $g(x)$ 。

曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 在第一象限内相交于点 $P$ ，如图 1 所示。

解答

(a)

解法一

思路

展开

二次曲线在 $x=0$ 和 $x=4$ 截 $x$ 轴，所以可以写成 $kx(x-4)$ 。再用最低点 $(2,-4.8)$ 求 $k$ 。

答题过程

展开

Since the roots are $0$ and $4$ , write

\begin{align*} f(x)=kx(x-4). \end{align*}

Use the point $(2,-4.8)$ :

\begin{align*} -4.8=&\,k(2)(2-4)\\ -4.8=&\,-4k\\ k=&\,1.2. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} f(x)=1.2x(x-4). \end{align*}

解法二

思路

展开

最低点是 $(2,-4.8)$ ，所以也可以从顶点形式开始： $f(x)=a(x-2)^2-4.8$ 。再用截距点求 $a$ 。

答题过程

展开

Since the minimum turning point is $(2,-4.8)$ ,

\begin{align*} f(x)=a(x-2)^2-4.8. \end{align*}

The curve passes through the origin, so

\begin{align*} 0=&\,a(0-2)^2-4.8\\ 0=&\,4a-4.8\\ a=&\,1.2. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} f(x)=&\,1.2(x-2)^2-4.8\\ =&\,1.2(x^2-4x+4)-4.8\\ =&\,1.2x^2-4.8x\\ =&\,1.2x(x-4). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

三次曲线在 $x=0$ 截过 $x$ 轴，在 $x=4$ 与 $x$ 轴相切，所以 $x=4$ 是重复根。因此可写成 $g(x)=\lambda x(x-4)^2$ 。

答题过程

展开

Since the curve cuts the $x$ -axis at $0$ and meets the $x$ -axis at $4$ ,

\begin{align*} g(x)=\lambda x(x-4)^2. \end{align*}

Use the point $(6,7.2)$ :

\begin{align*} 7.2=&\,\lambda(6)(6-4)^2\\ 7.2=&\,24\lambda\\ \lambda=&\,0.3. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} g(x)=0.3x(x-4)^2. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可把三次函数写成一般形式。曲线经过原点，因此常数项为 $0$ ；再分别使用 $g(4)=0$ 、 $g'(4)=0$ 和 $g(6)=7.2$ 求三个系数。

答题过程

展开

Since the curve passes through the origin, write

\begin{align*} g(x)=ax^3+bx^2+cx. \end{align*}

The curve meets the $x$ -axis at $x=4$ , so $g(4)=0$ and $g'(4)=0$ . Also, $g(6)=7.2$ . Therefore

\begin{align*} 64a+16b+4c=&\,0,\\ 48a+8b+c=&\,0,\\ 216a+36b+6c=&\,7.2. \end{align*}

Divide the first equation by $4$ and subtract it from the second equation:

\begin{align*} 16a+4b+c=&\,0,\\ 32a+4b=&\,0, \end{align*}

so $b=-8a$ and then $c=16a$ . Substituting into the third equation gives

\begin{align*} 216a+36(-8a)+6(16a)=&\,7.2\\ 24a=&\,7.2\\ a=&\,0.3. \end{align*}

Hence $b=-2.4$ and $c=4.8$ , so

\begin{align*} g(x) =&\,0.3x^3-2.4x^2+4.8x\\ =&\,0.3x(x-4)^2. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

交点满足 $f(x)=g(x)$ 。两边都有 $x(x-4)$ ，但不能忘记 $x=0$ 和 $x=4$ 只是 $x$ 轴上的交点；题目要第一象限里的另一个交点，所以最后选 $x=8$ 。

答题过程

展开

At intersections,

\begin{align*} f(x)=&\,g(x)\\ 1.2x(x-4)=&\,0.3x(x-4)^2. \end{align*}

\begin{align*} 0.3x(x-4)^2-1.2x(x-4)=&\,0\\ x(x-4)\left(0.3(x-4)-1.2\right)=&\,0. \end{align*}

Hence

\begin{align*} x=0,\qquad x=4,\qquad 0.3(x-4)-1.2=0. \end{align*}

For the first-quadrant point $P$ ,

\begin{align*} 0.3(x-4)=&\,1.2\\ x-4=&\,4\\ x=&\,8. \end{align*}

Then

\begin{align*} y=&\,f(8)\\ =&\,1.2(8)(8-4)\\ =&\,38.4. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P=(8,38.4). \end{align*}

P1 2024 Oct Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程