题目

Problem

A plot of land $OAB$ is in the shape of a sector of a circle with centre $O$ .

Given

$OA=OB=5$ km
angle $AOB=1.2$ radians

(a) find the perimeter of the plot of land.

(2)

A point $P$ lies on $OB$ such that the line $AP$ divides the plot of land into two regions $R_1$ and $R_2$ as shown in Figure 2.

Given that

\begin{align*} \text{area of }R_1=3\times\text{area of }R_2 \end{align*}

(b) show that the area of $R_2=3.75\text{ km}^2$ .

(3)

(4)

题目中文翻译

一块土地 $OAB$ 是以 $O$ 为圆心的扇形。

已知

$OA=OB=5\text{ km}$ ；
角 $AOB=1.2$ 弧度。

(a) 求这块土地的周长。

点 $P$ 位于 $OB$ 上，直线 $AP$ 将这块土地分成区域 $R_1$ 和 $R_2$ ，如图 2 所示。

已知

\begin{align*} R_1\text{ 的面积}=3\times R_2\text{ 的面积}. \end{align*}

(b) 证明 $R_2$ 的面积为 $3.75\text{ km}^2$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

扇形周长等于两条半径加弧长。弧长公式是 $r\theta$ ，其中 $\theta$ 要用弧度。

答题过程

展开

The arc length $AB$ is

\begin{align*} r\theta=5(1.2)=6. \end{align*}

So the perimeter is

\begin{align*} 5+5+6=16. \end{align*}

Therefore the perimeter is

\begin{align*} 16\text{ km}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先求整个扇形面积。若 $R_1$ 的面积是 $R_2$ 的 $3$ 倍，那么整个扇形面积就是 $4$ 份，其中 $R_2$ 占 $1$ 份。

答题过程

展开

The area of the sector is

\begin{align*} \frac12r^2\theta =&\,\frac12(5^2)(1.2)\\ =&\,15. \end{align*}

Since

\begin{align*} \text{area of }R_1=3\times\text{area of }R_2, \end{align*}

the whole sector is made of $4$ equal parts of size $\text{area of }R_2$ .

Therefore

\begin{align*} \text{area of }R_2 =&\,\frac14(15)\\ =&\,3.75\text{ km}^2. \end{align*}

This is the required result.

(c)

解法一

思路

展开

$R_2$ 就是三角形 $OAP$ ，它的两条边 $OA$ 和 $OP$ 夹角为 $1.2$ 。先用三角形面积公式求 $OP$ ，再在三角形 $OAP$ 中用余弦定理求 $AP$ 。

答题过程

展开

Since $R_2$ is triangle $OAP$ ,

\begin{align*} \frac12(5)(OP)\sin 1.2=&\,3.75\\ OP=&\,\frac{3.75}{2.5\sin1.2}\\ OP=&\,1.6093\ldots. \end{align*}

Using the cosine rule in triangle $OAP$ ,

\begin{align*} AP^2 =&\,5^2+(1.6093\ldots)^2\\ &\quad -2(5)(1.6093\ldots)\cos1.2\\ =&\,21.758\ldots. \end{align*}

\begin{align*} AP=4.6646\ldots\text{ km}. \end{align*}

To the nearest $100$ m,

\begin{align*} AP=4.7\text{ km}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以从点 $P$ 向 $OA$ 作垂线。三角形 $OAP$ 的面积可以先给出垂直高度，再用直角三角形求 $AP$ 。这种路线避开了余弦定理，但要小心角的位置。

答题过程

展开

Let $X$ be the foot of the perpendicular from $P$ to $OA$ .

Since the area of triangle $OAP$ is $3.75$ ,

\begin{align*} \frac12(5)(PX)=&\,3.75\\ PX=&\,1.5. \end{align*}

In the right triangle $OPX$ ,

\begin{align*} \tan1.2=&\,\frac{PX}{OX}\\ OX=&\,\frac{1.5}{\tan1.2}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} AX =&\,OA-OX\\ =&\,5-\frac{1.5}{\tan1.2}\\ =&\,4.4164\ldots. \end{align*}

Now use Pythagoras in triangle $APX$ :

\begin{align*} AP^2 =&\,AX^2+PX^2\\ =&\,(4.4164\ldots)^2+1.5^2\\ =&\,21.758\ldots. \end{align*}

\begin{align*} AP=4.6646\ldots\text{ km}. \end{align*}

To the nearest $100$ m,

\begin{align*} AP=4.7\text{ km}. \end{align*}

P1 2024 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程