题目

Problem

Figure 3 shows a plot of part of the curve $C_1$ with equation

\begin{align*} y=-4\cos x \end{align*}

where $x$ is measured in radians.

Points $P$ and $Q$ lie on the curve and are shown in Figure 3.

(a) State

(i) the coordinates of $P$

(ii) the coordinates of $Q$

(3)

The curve $C_2$ has equation $y=-4\cos x+k$ where $x$ is measured in radians and $k$ is a constant.

Given that $C_2$ has a maximum $y$ value of $11$ ,

(b) (i) state the value of $k$

(ii) state the coordinates of the minimum point on $C_2$ with the smallest positive $x$ coordinate.

(3)

On the opposite page there is a copy of Figure 3 labelled Diagram 1.

\begin{align*} -4\cos x=5-\frac{10}{\pi}x \end{align*}

giving a reason for your answer.

(2)

题目中文翻译

图 3 显示了曲线 $C_1$ 的部分图像，其方程为

\begin{align*} y=-4\cos x, \end{align*}

其中 $x$ 以弧度为单位。

点 $P$ 和 $Q$ 位于曲线上，如图 3 所示。

(a) 写出

(i) 点 $P$ 的坐标；

(ii) 点 $Q$ 的坐标。

曲线 $C_2$ 的方程为 $y=-4\cos x+k$ ，其中 $x$ 以弧度为单位， $k$ 为常数。

已知 $C_2$ 的最大 $y$ 值为 $11$ 。

(b)

(i) 写出 $k$ 的值；

(ii) 写出 $C_2$ 上具有最小正 $x$ 坐标的极小值点的坐标。

下一页有一份图 3 的副本，标记为图示 1。

\begin{align*} -4\cos x=5-\frac{10}{\pi}x \end{align*}

的解的个数，并说明理由。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

$y=-4\cos x$ 的最小值是 $-4$ ，发生在 $\cos x=1$ 的位置。图中 $P$ 是左边那个最低点，所以对应 $x=-2\pi$ 。

答题过程

展开

For $y=-4\cos x$ , a minimum occurs when $\cos x=1$ .

On the left of the origin shown in the diagram, this occurs at

\begin{align*} x=-2\pi. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P=(-2\pi,-4). \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

$Q$ 是右边的 $x$ 轴截点。令 $-4\cos x=0$ ，即 $\cos x=0$ ，图中对应的是 $x=\frac{3\pi}{2}$ 。

答题过程

展开

At an $x$ -axis intersection,

\begin{align*} -4\cos x=&\,0\\ \cos x=&\,0. \end{align*}

For the point $Q$ shown,

\begin{align*} x=\frac{3\pi}{2}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} Q=\left(\frac{3\pi}{2},0\right). \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

$-4\cos x$ 的最大值是 $4$ 。整体向上平移 $k$ 后，最大值变成 $4+k$ 。

答题过程

展开

The maximum value of $-4\cos x$ is $4$ .

So the maximum value of $-4\cos x+k$ is

\begin{align*} 4+k. \end{align*}

Given that the maximum value is $11$ ,

\begin{align*} 4+k=&\,11\\ k=&\,7. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

$C_2$ 是把 $C_1$ 向上平移 $7$ 。最小值从 $-4$ 变成 $3$ ，最小正 $x$ 坐标的最低点在 $x=2\pi$ 。

答题过程

展开

The minimum value of $C_2$ is

\begin{align*} -4+7=3. \end{align*}

The minimum point with the smallest positive $x$ coordinate occurs at

\begin{align*} x=2\pi. \end{align*}

Therefore the point is

\begin{align*} (2\pi,3). \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

方程

\begin{align*} -4\cos x=5-\frac{10}{\pi}x \end{align*}

表示曲线 $y=-4\cos x$ 与直线 $y=5-\frac{10}{\pi}x$ 的交点。数交点个数即可。

答题过程

展开

Draw the line

\begin{align*} y=5-\frac{10}{\pi}x \end{align*}

on Diagram 1.

This line has negative gradient and passes through $(0,5)$ .

It intersects the curve $y=-4\cos x$ once.

Therefore the equation has

\begin{align*} 1 \end{align*}

solution.

P1 2024 Oct Q7

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程