曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$。

$x$ 坐标为 $3$ 的点 $P$ 位于 $C$ 上。

已知

• $f'(x)=4x^2+kx+3$，其中 $k$ 为常数；
• $C$ 在点 $P$ 处的法线方程为 $y=-\dfrac{1}{24}x+5$。

(a) 证明 $k=-5$。

(b) 由此求 $f(x)$。

法线斜率是 $-\frac1{24}$，所以切线斜率是它的负倒数，也就是 $24$。而切线斜率就是 $f'(3)$，由此可求 $k$。

The normal has gradient

Therefore the tangent has gradient

Since $P$ has $x$ coordinate $3$,

Now

So

This is the required result.

也可以代入验证。把题目给出的 $k=-5$ 代入 $f'(3)$，若所得切线斜率为 $24$，其负倒数便是题目所给法线的斜率 $-\frac1{24}$。

If $k=-5$, then

The corresponding normal gradient is

which agrees with the given normal. Therefore $k=-5$, as required.

由 (a) 得到 $f'(x)=4x^2-5x+3$，积分后会有常数 $c$。题目给了法线方程，并且 $P$ 的 $x$ 坐标是 $3$，所以可以先用法线方程求出 $P$ 的 $y$ 坐标，再代入 $f(x)$ 求 $c$。

Using $k=-5$,

Integrate:

Since $P$ lies on the normal and has $x=3$,

So $P=\left(3,\frac{39}{8}\right)$.

Substitute this into $f(x)$:

Hence

Therefore

也可以使用定积分上限函数。先由法线方程求出 $f(3)$，再利用

直接求得 $f(x)$，这样无需另设积分常数。

Since $P$ lies on the normal and has $x=3$,

So $f(3)=\frac{39}{8}$.

Using the Fundamental Theorem of Calculus,

Therefore