法线斜率是 $-\frac1{24}$，所以切线斜率是它的负倒数，也就是 $24$。而切线斜率就是 $f'(3)$，由此可求 $k$。

The normal has gradient

Therefore the tangent has gradient

Since $P$ has $x$ coordinate $3$,

Now

So

This is the required result.

由 (a) 得到 $f'(x)=4x^2-5x+3$，积分后会有常数 $c$。题目给了法线方程，并且 $P$ 的 $x$ 坐标是 $3$，所以可以先用法线方程求出 $P$ 的 $y$ 坐标，再代入 $f(x)$ 求 $c$。

Using $k=-5$,

Integrate:

Since $P$ lies on the normal and has $x=3$,

So $P=\left(3,\frac{39}{8}\right)$.

Substitute this into $f(x)$:

Hence

Therefore

微积分基本定理（定积分上限函数法）。 要求原函数 $f(x)$，除了使用不定积分求出常数 $c$ 再代入点求解的常规方法外，也可以直接利用定积分上限函数。 根据微积分基本定理，有：

在本题中，已知点 $P$ 的 $x$ 坐标为 $3$，通过法线方程求得 $P$ 的 $y$ 坐标（即 $f(3)$）为 $\frac{39}{8}$。 因此，我们可以选择 $x_0 = 3$ 作为积分下限，直接写出关于 $f(x)$ 的定积分表达式：

计算该定积分并代入 $f(3) = \frac{39}{8}$，可以直接得到 $f(x)$ 的解析式。这种方法在逻辑上极为连贯，将“求导函数的积分”与“代入边界条件”两步融合为了统一的积分计算，展现了更深刻的微积分思维。

Since $P$ lies on the normal and has $x = 3$, we find its $y$-coordinate:

So, $f(3) = \frac{39}{8}$.

Using the Fundamental Theorem of Calculus:

Evaluate the definite integral on the right-hand side:

Substitute this back into the equation:

Therefore: