$3x^2-4x+20$ 的判别式小于 $0$，且二次项系数为正，所以它永远为正。因此 $f(x)$ 的正负只由 $x+5$ 决定。

For

the discriminant is

Since the coefficient of $x^2$ is positive,

for all real $x$.

So

when

Therefore

先展开成三次多项式，再逐项求导。这种方式最稳，也容易把最后答案化成最简。

Expand first:

Therefore

也可以直接用乘积法则。这样不用先完整展开 $f(x)$，但最后仍要合并同类项。

Using the product rule,

Expand and simplify:

平行切线表示梯度相同。先求 $R$ 点处的梯度 $f'(-4)$，再令 $f'(x)$ 等于这个梯度。解出来会有一个根是 $R$ 自己的 $x=-4$，另一个才是 $P$ 的 $x$ 坐标。

From part (b),

At $R$, $x=-4$, so

For the tangent at $P$ to be parallel to the tangent at $R$,

So

Hence

The root $x=-4$ is the point $R$, so the $x$ coordinate of $P$ is

$y=f(x-3)$ 是把图像向右平移 $3$。所以点的 $x$ 坐标加 $3$，$y$ 坐标不变。

The transformation from $y=f(x)$ to $y=f(x-3)$ is a translation $3$ units to the right.

So

$y=4f(x)$ 是竖直方向放大 $4$ 倍。$x$ 坐标不变，$y$ 坐标乘以 $4$。

The transformation from $y=f(x)$ to $y=4f(x)$ multiplies the $y$ coordinate by $4$.

So