题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

Given that

the point $A$ has coordinates $(-2\sqrt3,5)$
the point $B$ has coordinates $(7\sqrt3,8)$
the straight line $l_1$ passes through $A$ and $B$

(a) show that the gradient of $l_1$ is $p\sqrt3$ , where $p$ is a rational constant to be found. You must show each step of your working.

(2)

The straight line $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through $A$ .

(b) Find the equation of $l_2$ , giving your answer in the form $y=mx+c$ , where $m$ and $c$ are constants.

(3)

题目中文翻译

本题必须写出全部计算步骤。依赖计算器技术的解答不予接受。

已知：

点 $A$ 的坐标为 $(-2\sqrt3,5)$ ；
点 $B$ 的坐标为 $(7\sqrt3,8)$ ；
直线 $l_1$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点。

(a) 证明 $l_1$ 的斜率为 $p\sqrt3$ ，其中 $p$ 是需要求出的有理常数。你必须写出每一步计算。

(2)

直线 $l_2$ 垂直于 $l_1$ ，并且经过点 $A$ 。

(b) 求 $l_2$ 的方程，并将答案写成 $y=mx+c$ 的形式，其中 $m$ 、 $c$ 为常数。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

用两点斜率公式。分母会出现 $\sqrt3$ ，所以要有理化，才能写成 $p\sqrt3$ 的形式。

答题过程

展开

The gradient of $l_1$ is

\begin{align*} m =&\,\frac{8-5}{7\sqrt3-(-2\sqrt3)}\\ =&\,\frac{3}{9\sqrt3}\\ =&\,\frac{1}{3\sqrt3}. \end{align*}

Rationalise the denominator:

\begin{align*} m =&\,\frac{1}{3\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\\ =&\,\frac{\sqrt3}{9}. \end{align*}

\begin{align*} m=\frac19\sqrt3, \end{align*}

and therefore

\begin{align*} p=\frac19. \end{align*}

解法二

思路

展开

设 $l_1$ 的方程为 $y=mx+c$ ，分别代入点 $A$ 、 $B$ ，再联立两式消去 $c$ 。

答题过程

展开

Let the equation of $l_1$ be

\begin{align*} y=mx+c. \end{align*}

Using $A(-2\sqrt3,5)$ and $B(7\sqrt3,8)$ gives

\begin{align*} 5=&\,-2\sqrt3m+c,\tag{1}\\ 8=&\,7\sqrt3m+c.\tag{2} \end{align*}

Subtracting (1) from (2),

\begin{align*} 3=&\,9\sqrt3m\\ m=&\,\frac{3}{9\sqrt3}\\ =&\,\frac{1}{3\sqrt3}\\ =&\,\frac{\sqrt3}{9}. \end{align*}

Hence

\begin{align*} m=\frac19\sqrt3, \qquad p=\frac19. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$l_2$ 垂直于 $l_1$ ，所以斜率是 $l_1$ 斜率的负倒数。由于 $l_1$ 的斜率是 $\frac{\sqrt3}{9}$ ， $l_2$ 的斜率是 $-\frac{9}{\sqrt3}=-3\sqrt3$ 。再代入点 $A$ 写直线方程。

答题过程

展开

The gradient of $l_2$ is

\begin{align*} -\frac{1}{\sqrt3/9} =&\,-\frac9{\sqrt3}\\ =&\,-3\sqrt3. \end{align*}

Since $l_2$ passes through $A(-2\sqrt3,5)$ ,

\begin{align*} y-5=&\,-3\sqrt3(x-(-2\sqrt3))\\ y-5=&\,-3\sqrt3(x+2\sqrt3)\\ y-5=&\,-3\sqrt3x-18\\ y=&\,-3\sqrt3x-13. \end{align*}

P1 2025 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程