题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

The curve $C$ has equation

\begin{align*} y=4x^3+\frac2x+9,\qquad x>0. \end{align*}

(a) Find $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ , giving your answer in simplest form.

(2)

Given that

the point $P$ lies on $C$
the line with equation $y=k-5x$ , where $k$ is a constant, is the tangent to $C$ at $P$

(b) show that the $x$ coordinate of $P$ satisfies the equation

\begin{align*} 12x^4+5x^2-2=0 \end{align*}

(2)

(4)

题目中文翻译

本题必须写出全部计算步骤。依赖计算器技术的解答不予接受。

曲线 $C$ 的方程为

\begin{align*} y=4x^3+\frac2x+9,\qquad x>0. \end{align*}

(a) 求 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，并将答案化为最简形式。

(2)

已知：

点 $P$ 在曲线 $C$ 上；
方程为 $y=k-5x$ 的直线在点 $P$ 处与 $C$ 相切，其中 $k$ 为常数。

(b) 证明点 $P$ 的 $x$ 坐标满足方程

\begin{align*} 12x^4+5x^2-2=0. \end{align*}

(2)

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 $\frac2x$ 写成 $2x^{-1}$ ，再逐项微分。

答题过程

展开

\begin{align*} y=&\,4x^3+2x^{-1}+9. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,12x^2-2x^{-2}\\ =&\,12x^2-\frac{2}{x^2}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

切线 $y=k-5x$ 的斜率是 $-5$ 。因此在点 $P$ ，曲线的导数等于 $-5$ 。把 (a) 的导数令为 $-5$ ，再整理即可。

答题过程

展开

Since the tangent has gradient $-5$ ,

\begin{align*} 12x^2-\frac{2}{x^2}=&\,-5. \end{align*}

Multiply by $x^2$ :

\begin{align*} 12x^4-2=&\,-5x^2. \end{align*}

Bring all terms to one side:

\begin{align*} 12x^4+5x^2-2=0. \end{align*}

This is the required equation.

(c)

解法一

思路

展开

先解 (b) 的方程。令 $u=x^2$ ，得到二次方程；因为 $x>0$ ，最后只取正的 $x$ 。然后求点 $P$ 的 $y$ 坐标，再代入切线 $y=k-5x$ 求 $k$ 。

答题过程

展开

Let

\begin{align*} u=x^2. \end{align*}

Then

\begin{align*} 12u^2+5u-2=&\,0\\ (4u-1)(3u+2)=&\,0. \end{align*}

Since $u=x^2>0$ ,

\begin{align*} x^2=\frac14. \end{align*}

Because $x>0$ ,

\begin{align*} x=\frac12. \end{align*}

Find the $y$ coordinate on the curve:

\begin{align*} y =&\,4\left(\frac12\right)^3+\frac{2}{1/2}+9\\ =&\,\frac12+4+9\\ =&\,\frac{27}{2}. \end{align*}

Now use the tangent equation $y=k-5x$ :

\begin{align*} \frac{27}{2}=&\,k-5\left(\frac12\right)\\ \frac{27}{2}=&\,k-\frac52\\ k=&\,16. \end{align*}

解法二

思路

展开

求出 $x=\frac12$ 后，不先单独求点 $P$ 的纵坐标，而是在切点处直接令曲线方程与切线方程相等。

答题过程

展开

From part (b), let $u=x^2$ . Then

\begin{align*} 12u^2+5u-2=&\,0\\ (4u-1)(3u+2)=&\,0. \end{align*}

Since $x>0$ ,

\begin{align*} x=\frac12. \end{align*}

At the point of tangency, the curve and the tangent have the same $y$ value. Therefore

\begin{align*} 4\left(\frac12\right)^3 +\frac{2}{1/2}+9 =&\,k-5\left(\frac12\right)\\ \frac{27}{2}=&\,k-\frac52\\ k=&\,16. \end{align*}

P1 2025 Jan Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程