题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

The curve $C$ has equation $y=f(x)$ , $x>0$ .

Given that

the point $P(4,-5)$ lies on $C$
$f'(x)=\dfrac{2x^2+ax+b}{4\sqrt{x}}$ , where $a$ and $b$ are constants
the gradient of the tangent to $C$ at $P$ is $7$

(a) show that

\begin{align*} 4a+b=24 \end{align*}

(2)

Given also that $a+b=-9$ ,

(b) find, in simplest form, $f(x)$ .

(7)

Curve $C$ is transformed to the curve with equation $y=f(x-3)$ .

Given that point $P$ is transformed to the point $Q$ ,

(1)

题目中文翻译

本题必须写出全部计算步骤。完全依赖计算器技术的解答不予接受。

曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，其中 $x>0$ 。

已知：

点 $P(4,-5)$ 在 $C$ 上；
$f'(x)=\dfrac{2x^2+ax+b}{4\sqrt{x}}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为常数；
曲线 $C$ 在 $P$ 处的切线斜率为 $7$ 。

(a) 证明

\begin{align*} 4a+b=24. \end{align*}

(2)

又已知 $a+b=-9$ 。

(b) 求 $f(x)$ ，并将答案化为最简形式。

(7)

曲线 $C$ 变换为方程为 $y=f(x-3)$ 的曲线。

已知点 $P$ 变换为点 $Q$ 。

(1)

解答

(a)

解法一

思路

展开

点 $P$ 的 $x$ 坐标是 $4$ ，并且该点处切线斜率是 $7$ ，所以 $f'(4)=7$ 。把 $x=4$ 代入即可推出目标式。

答题过程

展开

Since the gradient at $P$ is $7$ ,

\begin{align*} f'(4)=7. \end{align*}

\begin{align*} \frac{2(4)^2+a(4)+b}{4\sqrt4}=&\,7\\ \frac{32+4a+b}{8}=&\,7\\ 32+4a+b=&\,56\\ 4a+b=&\,24. \end{align*}

This is the required result.

(b)

解法一

思路

展开

先联立 $4a+b=24$ 和 $a+b=-9$ ，求出 $a,b$ 。再把 $f'(x)$ 拆成幂函数形式积分。最后用点 $P(4,-5)$ 求积分常数。

答题过程

展开

Solve

\begin{align*} 4a+b=&\,24,\\ a+b=&\,-9. \end{align*}

Subtract the second equation from the first:

\begin{align*} 3a=&\,33\\ a=&\,11. \end{align*}

Then

\begin{align*} 11+b=&\,-9\\ b=&\,-20. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} f'(x) =&\,\frac{2x^2+11x-20}{4\sqrt{x}}\\ =&\,\frac{2x^2}{4x^{1/2}} +\frac{11x}{4x^{1/2}} -\frac{20}{4x^{1/2}}\\ =&\,\frac12x^{3/2} +\frac{11}{4}x^{1/2} -5x^{-1/2}. \end{align*}

Integrate:

\begin{align*} f(x) =&\,\frac12\cdot\frac{x^{5/2}}{5/2} +\frac{11}{4}\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} -5\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}+c\\ =&\,\frac15x^{5/2} +\frac{11}{6}x^{3/2} -10x^{1/2}+c. \end{align*}

Use $P(4,-5)$ :

\begin{align*} -5 =&\,\frac15(4)^{5/2} +\frac{11}{6}(4)^{3/2} -10(4)^{1/2}+c\\ =&\,\frac15(32)+\frac{11}{6}(8)-20+c\\ =&\,\frac{32}{5}+\frac{44}{3}-20+c\\ =&\,\frac{96+220-300}{15}+c\\ =&\,\frac{16}{15}+c. \end{align*}

\begin{align*} c=&\,-5-\frac{16}{15}\\ =&\,-\frac{91}{15}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} f(x)=\frac15x^{5/2} +\frac{11}{6}x^{3/2} -10x^{1/2} -\frac{91}{15}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

$y=f(x-3)$ 是把 $y=f(x)$ 向右平移 $3$ 个单位，所以点的 $x$ 坐标加 $3$ ， $y$ 坐标不变。

答题过程

展开

The transformation from $y=f(x)$ to $y=f(x-3)$ is a translation $3$ units to the right.

\begin{align*} P(4,-5)\mapsto Q(7,-5). \end{align*}

P1 2025 Jan Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程