题目

Problem

(a) Express $6x-\dfrac{27}{4}-x^2$ in the form $a+b(x+c)^2$ where $a$ , $b$ and $c$ are constants to be found.

(3)

Figure 2 shows part of a sketch of curve $C_1$ with equation

\begin{align*} y=6x-\frac{27}{4}-x^2. \end{align*}

Given that the point $P$ is the maximum point on $C_1$ ,

(b) state the coordinates of $P$ .

(2)

Figure 2 also shows part of a sketch of curve $C_2$ with equation

\begin{align*} y=\cos(kx) \end{align*}

where $k$ is a constant and $x$ is measured in radians.

Given that $C_1$ and $C_2$ intersect on the $x$ -axis at point $A$ and at point $B$ , as shown in Figure 2,

(ii) state the value of $k$

(iii) state the period of $C_2$ .

(3)

The line segment $L$ joins $P$ and $B$ .

The region $R$ , shown shaded in Figure 2, is bounded by $L$ , $C_1$ and $C_2$ .

(d) Use inequalities to define $R$ .

(5)

题目中文翻译

(a) 将 $6x-\dfrac{27}{4}-x^2$ 表示成 $a+b(x+c)^2$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为需要求出的常数。

(3)

图 2 显示了曲线 $C_1$ 的部分草图，其方程为

\begin{align*} y=6x-\frac{27}{4}-x^2. \end{align*}

已知点 $P$ 是 $C_1$ 上的最高点。

(b) 写出点 $P$ 的坐标。

(2)

图 2 还显示了曲线 $C_2$ 的部分草图，其方程为

\begin{align*} y=\cos(kx), \end{align*}

其中 $k$ 为常数， $x$ 以弧度为单位。

已知 $C_1$ 和 $C_2$ 在图示点 $A$ 和点 $B$ 处相交于 $x$ 轴上。

(ii) 写出 $k$ 的值；

(iii) 写出 $C_2$ 的周期。

(3)

线段 $L$ 连接 $P$ 、 $B$ 两点。

图 2 中的阴影区域 $R$ 由 $L$ 、 $C_1$ 和 $C_2$ 围成。

(d) 用不等式定义区域 $R$ 。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把二次项提负号，再配方。目标是把它写成顶点形式，从而直接读出最大点。

答题过程

展开

\begin{align*} 6x-\frac{27}{4}-x^2 =&\,-(x^2-6x)-\frac{27}{4}\\ =&\,-\left((x-3)^2-9\right)-\frac{27}{4}\\ =&\,-(x-3)^2+9-\frac{27}{4}\\ =&\,\frac94-(x-3)^2. \end{align*}

\begin{align*} a=\frac94,\qquad b=-1,\qquad c=-3. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

由 (a) 的顶点形式

\begin{align*} y=\frac94-(x-3)^2 \end{align*}

可知最大值在 $x=3$ 时取得，此时 $y=\frac94$ 。

答题过程

展开

From

\begin{align*} y=\frac94-(x-3)^2, \end{align*}

the maximum occurs when

\begin{align*} x=3. \end{align*}

Then

\begin{align*} y=\frac94. \end{align*}

\begin{align*} P=\left(3,\frac94\right). \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

展开

点 $B$ 在 $C_1$ 和 $x$ 轴上，因此令 (a) 所得的顶点形式等于零，并取右侧的根。

答题过程

展开

For $C_1$ on the $x$ -axis,

\begin{align*} \frac94-(x-3)^2=&\,0\\ (x-3)^2=&\,\frac94\\ x-3=&\,\pm\frac32. \end{align*}

So the two $x$ -intercepts are

\begin{align*} x=\frac32,\qquad x=\frac92. \end{align*}

Point $B$ is the right-hand intercept, so

\begin{align*} x_B=\frac92. \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

展开

图中 $A$ 、 $B$ 是余弦曲线相邻的两个零点。它们的横坐标相差 $3$ ，而余弦函数相邻零点之间的相位差为 $\pi$ 。

答题过程

展开

The adjacent zeros shown are at

\begin{align*} x=\frac32 \quad\text{and}\quad x=\frac92. \end{align*}

The change in the argument between adjacent zeros is $\pi$ . Hence

\begin{align*} k\left(\frac92-\frac32\right)=&\,\pi\\ 3k=&\,\pi\\ k=&\,\frac{\pi}{3}. \end{align*}

(c)(iii)

解法一

思路

展开

$y=\cos(kx)$ 的周期为 $\frac{2\pi}{k}$ ，代入 (c)(ii) 的 $k$ 即可。

答题过程

展开

The period of $y=\cos(kx)$ is

\begin{align*} \frac{2\pi}{k} =&\,\frac{2\pi}{\pi/3}\\ =&\,6. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

区域 $R$ 的下边界是 $C_2$ ，上边界分成两段：左侧是 $C_1$ ，右侧是直线段 $L$ 。所以需要先求 $L$ 的方程，再用不等式表达 $y$ 位于这些曲线之间。

答题过程

展开

The lower boundary is

\begin{align*} y=\cos\left(\frac{\pi x}{3}\right). \end{align*}

The upper curve $C_1$ is

\begin{align*} y=6x-\frac{27}{4}-x^2. \end{align*}

Now find the equation of $L$ , which passes through

\begin{align*} P\left(3,\frac94\right) \quad\text{and}\quad B\left(\frac92,0\right). \end{align*}

Its gradient is

\begin{align*} m =&\,\frac{0-\frac94}{\frac92-3}\\ =&\,\frac{-\frac94}{\frac32}\\ =&\,-\frac32. \end{align*}

Using point $B$ ,

\begin{align*} y-0=&\,-\frac32\left(x-\frac92\right)\\ y=&\,-\frac32x+\frac{27}{4}. \end{align*}

Therefore the region $R$ is defined by

\begin{align*} y&>\cos\left(\frac{\pi x}{3}\right),\\ y&<6x-\frac{27}{4}-x^2,\\ y&<-\frac32x+\frac{27}{4}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以用联立方程求直线 $L$ 。设 $L$ 为 $y=mx+c$ ，把 $P$ 、 $B$ 的坐标分别代入，联立求出 $m$ 、 $c$ ，再写出三个边界不等式。

答题过程

展开

Let the equation of $L$ be $y=mx+c$ . Since $L$ passes through $P\left(3,\frac94\right)$ and $B\left(\frac92,0\right)$ ,

\begin{align*} \frac94=&\,3m+c,\tag{1}\\ 0=&\,\frac92m+c.\tag{2} \end{align*}

Subtracting (2) from (1),

\begin{align*} \frac94=&\,-\frac32m\\ m=&\,-\frac32. \end{align*}

Substituting into (2),

\begin{align*} 0=&\,-\frac{27}{4}+c\\ c=&\,\frac{27}{4}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} L:\quad y=-\frac32x+\frac{27}{4}. \end{align*}

The region $R$ is defined by

\begin{align*} y&>\cos\left(\frac{\pi x}{3}\right),\\ y&<6x-\frac{27}{4}-x^2,\\ y&<-\frac32x+\frac{27}{4}. \end{align*}

P1 2025 Jan Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)(iii)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程