图 1 所示的曲线 $C$

• 方程为 $y=f(x)$，$x\in\mathbb{R}$
• 在 $x=-1$ 处与 $x$ 轴相交
• 在 $P(2,5)$ 处有一个极大转折点
• 有一条方程为 $y=3$ 的水平渐近线

曲线 $C$ 没有其他转折点或渐近线。

(a) 当方程为 $y=f(x)$ 的曲线分别变换为下列曲线时，求点 $P$ 变换后所得点的坐标：

(i) $y=f(x)+7$

(ii) $y=3f(x)$。

已知方程为 $y=k$ 的直线与曲线 $C$ 恰好相交或相切一次，其中 $k$ 为常数。

(b) 写出 $k$ 的所有可能取值范围。

(c) 写出方程 $f(x+4)=0$ 的解。

点 $P(2,5)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上。$y=f(x)+7$ 是整体向上平移 $7$，所以 $x$ 坐标不变，$y$ 坐标加 $7$。

For $y=f(x)+7$, the point $P(2,5)$ becomes

点 $P(2,5)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上。$y=3f(x)$ 是竖直方向放大 $3$ 倍，所以 $x$ 坐标不变，$y$ 坐标乘 $3$。

For $y=3f(x)$, the point $P(2,5)$ becomes

水平线 $y=k$ 与曲线交点个数可从曲线高度判断。曲线有最高转折点 $y=5$，水平渐近线是 $y=3$，且只有一个转折点。

当 $k\leq3$ 时，水平线只会与曲线其中一支相交一次；当 $k=5$ 时，水平线在最大点处与曲线相切，也只接触一次。

The horizontal asymptote is

So for any horizontal line at or below this level, the line cuts the curve exactly once:

The maximum turning point is $P(2,5)$, so the horizontal line

meets the curve exactly once at $P$.

Therefore

$f(x)=0$ 的解是 $x=-1$。现在要求 $f(x+4)=0$，所以让括号里的 $x+4$ 等于原来的根 $-1$。

Since $f(x)=0$ when $x=-1$, for $f(x+4)=0$ we need