曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$。

已知

• $f'(x)=\dfrac{k\sqrt{x}(x-3)}{5}$，其中 $k$ 为常数
• $x$ 坐标为 $4$ 的点 $P$ 位于 $C$ 上
• $C$ 在 $P$ 点处的法线方程为 $y=-\dfrac54x+2$

(a) 求 $C$ 在 $P$ 点处的切线方程，并将答案写成 $y=mx+c$ 的形式，其中 $m$ 和 $c$ 为常数。

(b) 求 $k$ 的值。

(c) 求 $f(x)$，并将答案化为最简形式。

法线斜率是 $-\frac54$，所以切线斜率是它的负倒数 $\frac45$。

点 $P$ 的 $x$ 坐标是 $4$，而 $P$ 在给出的法线上，所以先代入法线方程求 $P$ 的 $y$ 坐标。

The normal has gradient

So the tangent has gradient

Since $P$ has $x=4$ and lies on the normal,

So

The tangent is

切线斜率就是 $f'(4)$。把 $x=4$ 代入 $f'(x)$，令它等于 $\frac45$，即可求 $k$。

Since the tangent gradient is $\frac45$,

Using

we get

把 $k=2$ 代入导函数后，先展开成幂函数再积分。积分后用点 $P=(4,-3)$ 求常数。

Using $k=2$,

Integrating,

Use $P=(4,-3)$:

Now

So

Hence

Therefore