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P1 2025 May A Q8

A Level / Edexcel / P1

IAL 2025 May A Paper · Question 8

题目

Problem

Figure 3 shows a sketch of a line ll and a quadratic curve CC.

Given that ll passes through (−3,0)(-3,0) and (2,18)(2,18),

(a) find an equation for ll in the form y=mx+cy=mx+c, where mm and cc are constants.

(3)

Given that

  • CC and ll intersect at the points (−3,0)(-3,0) and (2,18)(2,18)
  • CC crosses the yy-axis at (0,−6)(0,-6)

(b) find an equation for CC.

(4)

The region RR, shown shaded in Figure 3, is bounded by CC, ll and the yy-axis.

(c) Use inequalities to define RR.

(2)
题目中文翻译

图 3 给出了直线 ll 与二次曲线 CC 的草图。

已知 ll 经过 (−3,0)(-3,0) 和 (2,18)(2,18)。

(a) 求 ll 的方程，并写成 y=mx+cy=mx+c 的形式，其中 mm 和 cc 为常数。

已知

  • CC 与 ll 相交于点 (−3,0)(-3,0) 和 (2,18)(2,18)
  • CC 在 (0,−6)(0,-6) 处与 yy 轴相交

(b) 求 CC 的方程。

图 3 中的阴影区域 RR 由 CC、ll 和 yy 轴围成。

(c) 用不等式定义 RR。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先用两点求直线斜率，再代入其中一点求截距。

答题过程

展开

The gradient of ll is

m= 18−02−(−3)= 185.\begin{align*} m=&\,\frac{18-0}{2-(-3)}\\ =&\,\frac{18}{5}. \end{align*}

So

y=185x+c.\begin{align*} y=\frac{18}{5}x+c. \end{align*}

Use the point (−3,0)(-3,0):

0= 185(−3)+cc= 545.\begin{align*} 0=&\,\frac{18}{5}(-3)+c\\ c=&\,\frac{54}{5}. \end{align*}

Therefore

y=185x+545.\begin{align*} y=\frac{18}{5}x+\frac{54}{5}. \end{align*}

解法二

思路

展开

把点 (2,18)(2,18) 和 (−3,0)(-3,0) 分别代入 y=mx+cy=mx+c，直接联立所得两个方程。

答题过程

展开

Using (2,18)(2,18) and (−3,0)(-3,0) gives

18= 2m+c,0= −3m+c.\begin{align*} 18=&\,2m+c,\\ 0=&\,-3m+c. \end{align*}

Subtracting the second equation from the first,

18= 5mm= 185.\begin{align*} 18=&\,5m\\ m=&\,\frac{18}{5}. \end{align*}

Then

0= −3(185)+cc= 545.\begin{align*} 0=&\,-3\left(\frac{18}{5}\right)+c\\ c=&\,\frac{54}{5}. \end{align*}

Therefore

y=185x+545.\begin{align*} y=\frac{18}{5}x+\frac{54}{5}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

二次曲线经过 (0,−6)(0,-6)，所以常数项是 −6-6。设

y=ax2+bx−6.\begin{align*} y=ax^2+bx-6. \end{align*}

再代入另外两个点求 a,ba,b。

答题过程

展开

Let the equation of CC be

y=ax2+bx−6.\begin{align*} y=ax^2+bx-6. \end{align*}

Using (−3,0)(-3,0):

0= 9a−3b−69a−3b= 6.\begin{align*} 0=&\,9a-3b-6\\ 9a-3b=&\,6. \end{align*}

Using (2,18)(2,18):

18= 4a+2b−64a+2b= 24.\begin{align*} 18=&\,4a+2b-6\\ 4a+2b=&\,24. \end{align*}

Simplify the two equations:

3a−b= 2,2a+b= 12.\begin{align*} 3a-b=&\,2,\\ 2a+b=&\,12. \end{align*}

Add them:

5a= 14a= 145.\begin{align*} 5a=&\,14\\ a=&\,\frac{14}{5}. \end{align*}

Then

2a+b= 122(145)+b= 12b= 325.\begin{align*} 2a+b=&\,12\\ 2\left(\frac{14}{5}\right)+b=&\,12\\ b=&\,\frac{32}{5}. \end{align*}

Therefore

y=145x2+325x−6.\begin{align*} y=\frac{14}{5}x^2+\frac{32}{5}x-6. \end{align*}

解法二

思路

展开

曲线经过 (−3,0)(-3,0)，所以设 y=(x+3)(px+q)y=(x+3)(px+q)。再代入其余两个已知点求 p,qp,q。

答题过程

展开

Since the curve passes through (−3,0)(-3,0), write

y=(x+3)(px+q).\begin{align*} y=(x+3)(px+q). \end{align*}

Using (0,−6)(0,-6),

−6= 3qq= −2.\begin{align*} -6=&\,3q\\ q=&\,-2. \end{align*}

Using (2,18)(2,18),

18= 5(2p−2)18= 10p−10p= 145.\begin{align*} 18=&\,5(2p-2)\\ 18=&\,10p-10\\ p=&\,\frac{14}{5}. \end{align*}

Hence

y= (x+3)(145x−2)= 145x2+325x−6.\begin{align*} y =&\,(x+3)\left(\frac{14}{5}x-2\right)\\ =&\,\frac{14}{5}x^2+\frac{32}{5}x-6. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

阴影区域在 yy 轴左侧，所以 x≤0x\leq0。在这段区域中，直线在上方，二次曲线在下方，所以 yy 夹在两者之间。

答题过程

展开

The region is to the left of the yy-axis, so

x≤0.\begin{align*} x\leq0. \end{align*}

It lies above the curve CC and below the line ll. Therefore

145x2+325x−6≤yy≤185x+545.\begin{align*} \frac{14}{5}x^2+\frac{32}{5}x-6 &\leq y\\ y&\leq \frac{18}{5}x+\frac{54}{5}. \end{align*}

So RR is defined by

145x2+325x−6≤y≤185x+545,x≤0.\begin{align*} \frac{14}{5}x^2+\frac{32}{5}x-6 &\leq y \leq \frac{18}{5}x+\frac{54}{5},\\ x&\leq0. \end{align*}