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P1 2025 May Q4

A Level / Edexcel / P1

IAL 2025 May Paper · Question 4

题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of part of the curve with equation

y=4cos⁡x\begin{align*} y=4\cos x \end{align*}

where xx is measured in degrees.

The points PP and QQ lie on the curve and are shown in Figure 1.

(a) State the coordinates of PP.

(1)

(b) State the coordinates of QQ.

(2)

(c) State the number of solutions of the equation

(i) 4cos⁡x=34\cos x=3 in the interval 0<x≤18000∘0<x\leq18000^\circ

(ii) 5+4cos⁡x=15+4\cos x=1 in the interval −720∘<x≤720∘-720^\circ<x\leq720^\circ

(iii) 4cos⁡x−3=14\cos x-3=1 in the interval −1080∘≤x≤1080∘-1080^\circ\leq x\leq1080^\circ.

(3)
题目中文翻译

图 1 给出了曲线 y=4cos⁡xy=4\cos x 的一部分草图，其中 xx 以度为单位。点 PP 和 QQ 位于曲线上，如图 1 所示。

(a) 写出 PP 的坐标。

(b) 写出 QQ 的坐标。

(c) 写出下列各方程的解的个数：

(i) 在区间 0<x≤18000∘0<x\leq18000^\circ 内，4cos⁡x=34\cos x=3

(ii) 在区间 −720∘<x≤720∘-720^\circ<x\leq720^\circ 内，5+4cos⁡x=15+4\cos x=1

(iii) 在区间 −1080∘≤x≤1080∘-1080^\circ\leq x\leq1080^\circ 内，4cos⁡x−3=14\cos x-3=1。

解答

(a)

解法一

思路

展开

y=4cos⁡xy=4\cos x 在 x=270∘x=270^\circ 时穿过 xx 轴，图中的 PP 是这个点。

答题过程

展开

At PP,

x=270∘,y=0.\begin{align*} x=270^\circ,\qquad y=0. \end{align*}

So

P=(270∘,0).\begin{align*} P=(270^\circ,0). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

QQ 是左侧的最低点。余弦曲线在 x=−180∘x=-180^\circ 时取最小值，y=−4y=-4。

答题过程

展开

At QQ,

x=−180∘,y=−4.\begin{align*} x=-180^\circ,\qquad y=-4. \end{align*}

So

Q=(−180∘,−4).\begin{align*} Q=(-180^\circ,-4). \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

展开

y=4cos⁡xy=4\cos x 的周期是 360∘360^\circ。不在最高或最低点的水平线通常每个周期有两个交点；若刚好是最高或最低点，每个周期只有一个对应点。端点是否包含要单独看。

答题过程

展开

The interval

0<x≤18000∘\begin{align*} 0<x\leq18000^\circ \end{align*}

contains

18000360=50\begin{align*} \frac{18000}{360}=50 \end{align*}

full periods. Since 4cos⁡x=34\cos x=3 has two solutions in each period, the number of solutions is

50×2=100.\begin{align*} 50\times2=100. \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

展开

5+4cos⁡x=15+4\cos x=1 等价于 cos⁡x=−1\cos x=-1。找出其通解后，只需计算指定区间内符合条件的整数 nn 有多少个。

答题过程

展开 5+4cos⁡x= 14cos⁡x= −4cos⁡x= −1.\begin{align*} 5+4\cos x=&\,1\\ 4\cos x=&\,-4\\ \cos x=&\,-1. \end{align*}

This happens at x=180∘+360∘nx=180^\circ+360^\circ n. In

−720∘<x≤720∘,\begin{align*} -720^\circ<x\leq720^\circ, \end{align*}

there are 44 such values. So the number of solutions is

4.\begin{align*} 4. \end{align*}

(c)(iii)

解法一

思路

展开

4cos⁡x−3=14\cos x-3=1 等价于 cos⁡x=1\cos x=1。两个端点也都是解，必须一并计入。

答题过程

展开 4cos⁡x−3= 14cos⁡x= 4cos⁡x= 1.\begin{align*} 4\cos x-3=&\,1\\ 4\cos x=&\,4\\ \cos x=&\,1. \end{align*}

This happens at x=360∘nx=360^\circ n. In

−1080∘≤x≤1080∘,\begin{align*} -1080^\circ\leq x\leq1080^\circ, \end{align*}

there are 77 such values. So the number of solutions is

7.\begin{align*} 7. \end{align*}