题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

A curve has equation $y=f(x)$ , $x>0$ .

The point $P(4,12)$ lies on the curve.

Given that

$f'(x)=3\sqrt{x}+kx^2$ where $k$ is a constant
the equation of the tangent to the curve at $P$ has equation $y=10x+c$ where $c$ is a constant

(a) (i) show that $k=\dfrac14$

(ii) find the value of $c$

(4)

(b) Hence find the value of $f''(x)$ at $P$ .

(3)

(4)

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

切线 $y=10x+c$ 的斜率是 $10$ ，所以 $f'(4)=10$ 。把 $x=4$ 代入导函数即可推出 $k$ 。

答题过程

展开

Since the tangent has gradient $10$ ,

\begin{align*} f'(4)=10. \end{align*}

\begin{align*} 3\sqrt4+k(4)^2=&\,10\\ 6+16k=&\,10\\ 16k=&\,4\\ k=&\,\frac14. \end{align*}

This is the required result.

(a)(ii)

解法一

思路

展开

点 $P(4,12)$ 在切线上，代入 $y=10x+c$ 即可求 $c$ 。

答题过程

展开

Using $P(4,12)$ in $y=10x+c$ ,

\begin{align*} 12=&\,10(4)+c\\ c=&\,-28. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

由 (a) 知 $k=\frac14$ 。先写出 $f'(x)$ ，再微分得到 $f''(x)$ ，最后代入 $x=4$ 。

答题过程

展开

Using $k=\frac14$ ,

\begin{align*} f'(x)=3x^{1/2}+\frac14x^2. \end{align*}

Differentiate:

\begin{align*} f''(x) =&\,\frac32x^{-1/2}+\frac12x. \end{align*}

At $P$ , $x=4$ , so

\begin{align*} f''(4) =&\,\frac32(4)^{-1/2}+\frac12(4)\\ =&\,\frac32\cdot\frac12+2\\ =&\,\frac34+2\\ =&\,\frac{11}{4}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

对 $f'(x)$ 积分得到 $f(x)$ ，再用点 $P(4,12)$ 求积分常数。

答题过程

展开

Since

\begin{align*} f'(x)=3x^{1/2}+\frac14x^2, \end{align*}

integrate:

\begin{align*} f(x) =&\,3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} +\frac14\cdot\frac{x^3}{3}+d\\ =&\,2x^{3/2}+\frac1{12}x^3+d. \end{align*}

Use $P(4,12)$ :

\begin{align*} 12=&\,2(4)^{3/2}+\frac1{12}(4)^3+d\\ =&\,2(8)+\frac{64}{12}+d\\ =&\,16+\frac{16}{3}+d\\ =&\,\frac{64}{3}+d. \end{align*}

\begin{align*} d=&\,12-\frac{64}{3}\\ =&\,-\frac{28}{3}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} f(x)=2x^{3/2}+\frac1{12}x^3-\frac{28}{3}. \end{align*}

IAL 2025 May Q8

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程