题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

Figure 1 shows a sketch of a triangle $LMN$ and a sketch of a triangle $PQR$ .

Triangle $LMN$ is an equilateral triangle with sides $(x+7)$ cm.

Triangle $PQR$ is a right-angled isosceles triangle with $PQ=PR=2x$ cm and angle $QPR=90^\circ$ .

(a) Find, in its simplest form in terms of $x$ , the length $QR$ .

(2)

Given that the perimeter of triangle $LMN$ is equal to the perimeter of triangle $PQR$ ,

(b) find the value of $x$ , writing your answer in the form $a\sqrt2+b$ , where $a$ and $b$ are integers.

(5)

题目中文翻译

本题必须展示所有解题步骤。依赖计算器技术的解答不予接受。

图 1 分别给出了三角形 $LMN$ 和三角形 $PQR$ 的示意图。

三角形 $LMN$ 是边长为 $(x+7)$ cm 的等边三角形。

三角形 $PQR$ 是直角等腰三角形，其中 $PQ=PR=2x$ cm，且角 $QPR=90^\circ$ 。

(a) 用 $x$ 表示 $QR$ 的长度，并将答案化为最简形式。（2 分）

已知三角形 $LMN$ 的周长等于三角形 $PQR$ 的周长，

(b) 求 $x$ 的值，并将答案写成 $a\sqrt2+b$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。（5 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

$PQR$ 是直角等腰三角形， $QR$ 是斜边。用勾股定理即可。

答题过程

展开

By Pythagoras’ theorem,

\begin{align*} QR^2=&\,(2x)^2+(2x)^2\\ =&\,4x^2+4x^2\\ =&\,8x^2. \end{align*}

Since lengths are positive,

\begin{align*} QR=&\,\sqrt{8x^2}\\ =&\,2\sqrt2x. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先写两个三角形的周长并令它们相等。整理后会得到 $x=\dfrac{21}{1+2\sqrt2}$ ，再把分母理性化，化成题目要求的 $a\sqrt2+b$ 形式。

答题过程

展开

The perimeter of triangle $LMN$ is

\begin{align*} 3(x+7). \end{align*}

The perimeter of triangle $PQR$ is

\begin{align*} 2x+2x+2\sqrt2x =4x+2\sqrt2x. \end{align*}

Equating the perimeters,

\begin{align*} 3(x+7)=&\,4x+2\sqrt2x\\ 3x+21=&\,x(4+2\sqrt2)\\ 21=&\,x(1+2\sqrt2). \end{align*}

\begin{align*} x=&\,\frac{21}{1+2\sqrt2}\\ =&\,\frac{21}{1+2\sqrt2} \times\frac{2\sqrt2-1}{2\sqrt2-1}\\ =&\,\frac{21(2\sqrt2-1)}{(2\sqrt2)^2-1}\\ =&\,\frac{21(2\sqrt2-1)}{7}\\ =&\,3(2\sqrt2-1)\\ =&\,6\sqrt2-3. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以从周长方程出发，把含根式的一项单独留在一边，然后平方消去根式。由于 $x$ 是长度参数，最后只取正值。

答题过程

展开

From the perimeter equation,

\begin{align*} 3(x+7)=&\,4x+2\sqrt2x\\ 3x+21=&\,4x+2\sqrt2x\\ 21-x=&\,2\sqrt2x. \end{align*}

Square both sides:

\begin{align*} (21-x)^2=&\,(2\sqrt2x)^2\\ 441-42x+x^2=&\,8x^2\\ 7x^2+42x-441=&\,0. \end{align*}

Divide by $7$ :

\begin{align*} x^2+6x-63=0. \end{align*}

Using the quadratic formula,

\begin{align*} x=&\,\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4(1)(-63)}}{2}\\ =&\,\frac{-6\pm\sqrt{288}}{2}\\ =&\,\frac{-6\pm12\sqrt2}{2}\\ =&\,-3\pm6\sqrt2. \end{align*}

Since $x>0$ ,

\begin{align*} x=6\sqrt2-3. \end{align*}

P1 2025 Oct A Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程