题目

Problem

Figure 2 shows the points $P$ , $Q$ and $R$ .

Points $P$ and $Q$ have coordinates $(-1,4)$ and $(4,7)$ respectively.

(a) Find an equation for the straight line passing through points $P$ and $Q$ . Give your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$ , $b$ and $c$ are integers.

(3)

The point $R$ has coordinates $(p,-3)$ , where $p$ is a positive constant.

Given that angle $QPR=90^\circ$ ,

(b) find the value of $p$ .

(Solutions relying on calculator technology are not acceptable.)

(3)

题目中文翻译

图 2 显示了点 $P$ 、 $Q$ 和 $R$ 。

点 $P$ 和 $Q$ 的坐标分别为 $(-1,4)$ 和 $(4,7)$ 。

(a) 求经过点 $P$ 和 $Q$ 的直线方程。将答案写成 $ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为整数。（3 分）

点 $R$ 的坐标为 $(p,-3)$ ，其中 $p$ 为正常数。

已知角 $QPR=90^\circ$ ，

(b) 求 $p$ 的值。

（依赖计算器技术的解答不予接受。）（3 分）

解答

(a)

解法一

思路

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先用两点求斜率，再代入点斜式，最后整理到 $ax+by+c=0$ 。

答题过程

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The gradient of $PQ$ is

\begin{align*} \frac{7-4}{4-(-1)} =\frac35. \end{align*}

Using point $P(-1,4)$ ,

\begin{align*} y-4=&\,\frac35(x+1)\\ 5y-20=&\,3x+3\\ 3x-5y+23=&\,0. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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因为 $\angle QPR=90^\circ$ ，所以 $PR$ 垂直于 $PQ$ 。先求出 $PR$ 的斜率应为 $-\frac53$ ，再用 $P(-1,4)$ 和 $R(p,-3)$ 写斜率方程。

答题过程

展开

The gradient of $PQ$ is $\dfrac35$ , so the gradient of $PR$ is

\begin{align*} -\frac53. \end{align*}

Using $P(-1,4)$ and $R(p,-3)$ ,

\begin{align*} \frac{-3-4}{p-(-1)}=&\,-\frac53\\ \frac{-7}{p+1}=&\,-\frac53. \end{align*}

Hence

\begin{align*} 21=&\,5(p+1)\\ 21=&\,5p+5\\ 5p=&\,16\\ p=&\,\frac{16}{5}. \end{align*}

解法二

思路

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也可以使用勾股定理路线。因为 $\angle QPR=90^\circ$ ，所以 $QR$ 是直角三角形 $PQR$ 的斜边；分别用坐标差写出三边的平方，再使用 $PQ^2+PR^2=QR^2$ 。

答题过程

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The squared lengths are

\begin{align*} PQ^2=&\,(4-(-1))^2+(7-4)^2\\ =&\,5^2+3^2,\\ PR^2=&\,(p-(-1))^2+(-3-4)^2\\ =&\,(p+1)^2+7^2,\\ QR^2=&\,(p-4)^2+(-3-7)^2\\ =&\,(p-4)^2+10^2. \end{align*}

Since $\angle QPR=90^\circ$ , Pythagoras’ theorem gives

\begin{align*} PQ^2+PR^2=&\,QR^2\\ 5^2+3^2+(p+1)^2+7^2 =&\,(p-4)^2+10^2\\ 34+p^2+2p+1+49 =&\,p^2-8p+16+100\\ 2p+84=&\,-8p+116\\ 10p=&\,32\\ p=&\,\frac{16}{5}. \end{align*}

P1 2025 Oct A Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程