题目

Problem

In this question you must show detailed reasoning.

Figure 3 shows the design for a company logo.

Figure 3

The design consists of a triangle $ABE$ joined to a sector $BCDE$ of a circle with radius $6$ cm and centre $E$ .

The line $AE$ is perpendicular to the line $DE$ and the length of $AE$ is $9$ cm.

The size of angle $DEB$ is $3.5$ radians, as shown in Figure 3.

(a) Find the length of the arc $BCD$ .

(2)

Find, to one decimal place,

(b) the perimeter of the logo,

(3)

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

弧长公式是 $s=r\theta$ ，这里半径是 $6$ cm，圆心角是 $3.5$ radians。

答题过程

展开

Using $s=r\theta$ ,

\begin{align*} \text{arc }BCD =&\,6(3.5)\\ =&\,21\text{ cm}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

周长由 $AE$ 、 $AB$ 、弧 $BCD$ 和 $DE$ 组成。已知 $AE=9$ 、 $DE=6$ 、弧长为 $21$ ，所以关键是求 $AB$ 。

因为 $AE\perp DE$ ，而 $\angle DEB=3.5$ ，所以 $\angle AEB=\frac{3\pi}{2}-3.5$ 。

答题过程

展开

Since $AE$ is perpendicular to $DE$ ,

\begin{align*} \angle AEB=\frac{3\pi}{2}-3.5. \end{align*}

Using the cosine rule in triangle $AEB$ ,

\begin{align*} AB^2 =&\,9^2+6^2\\ &\,\hspace{2pt}-2(9)(6)\cos\left(\frac{3\pi}{2}-3.5\right)\\ =&\,79.115\ldots \end{align*}

Hence

\begin{align*} AB=8.894\ldots \end{align*}

The perimeter is

\begin{align*} 9+AB+21+6 =&\,9+8.894\ldots+21+6\\ =&\,44.894\ldots \end{align*}

Therefore the perimeter is

\begin{align*} 44.9\text{ cm} \end{align*}

to one decimal place.

(c)

解法一

思路

展开

整个 logo 的面积等于三角形 $ABE$ 的面积加上扇形 $BCDE$ 的面积。三角形用 $\frac12ab\sin C$ ，扇形用 $\frac12r^2\theta$ 。

答题过程

展开

The area of triangle $ABE$ is

\begin{align*} \frac12(9)(6)\sin\left(\frac{3\pi}{2}-3.5\right) =25.284\ldots \end{align*}

The area of sector $BCDE$ is

\begin{align*} \frac12(6)^2(3.5)=63. \end{align*}

Therefore the total area is

\begin{align*} 25.284\ldots+63 =&\,88.284\ldots \end{align*}

So the area is

\begin{align*} 88.3\text{ cm}^2 \end{align*}

to one decimal place.

IAL 2025 Oct A Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程