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P1 2025 Oct Q3

A Level / Edexcel / P1

IAL 2025 Oct Paper · Question 3

题目

Problem

The sides of a triangle are in the ratio 2:4:52:4:5.

(a) Find the size of the largest angle of the triangle, in degrees, to one decimal place.

(2)

Given that the area of the triangle is 140140 cm2^2

(b) find the length of the shortest side, in cm, to one decimal place.

(3)
题目中文翻译

一个三角形的三边之比为 2:4:52:4:5。

(a) 求该三角形最大角的大小，以度为单位，精确到小数点后 11 位。

已知该三角形的面积为 140 cm2140\text{ cm}^2。

(b) 求最短边的长度，以厘米为单位，精确到小数点后 11 位。

解答

(a)

解法一

思路

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最大角一定对着最长边。设三边为 2,4,52,4,5 的同倍数即可；因为比例相同，角度不受倍数影响。用余弦法则直接求最长边 55 对应的角。

答题过程

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Let the largest angle be θ\theta. It is opposite the side in ratio 55.

Using the cosine rule,

52= 22+42−2(2)(4)cos⁡θ25= 4+16−16cos⁡θ16cos⁡θ= −5cos⁡θ= −516.\begin{align*} 5^2=&\,2^2+4^2-2(2)(4)\cos\theta\\ 25=&\,4+16-16\cos\theta\\ 16\cos\theta=&\,-5\\ \cos\theta=&\,-\frac{5}{16}. \end{align*}

Hence

θ=108.2∘\begin{align*} \theta=108.2^\circ \end{align*}

to one decimal place.

解法二

思路

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也可以先求一个较小角，再用正弦法则求最大角。这个方法计算多一点，但能训练“最长边对最大角”的对应关系。

答题过程

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Let AA be the angle opposite the side in ratio 22.

Using the cosine rule,

22= 42+52−2(4)(5)cos⁡A4= 16+25−40cos⁡A40cos⁡A= 37A= 22.33…∘.\begin{align*} 2^2=&\,4^2+5^2-2(4)(5)\cos A\\ 4=&\,16+25-40\cos A\\ 40\cos A=&\,37\\ A=&\,22.33\ldots^\circ. \end{align*}

Let θ\theta be the largest angle, opposite the side in ratio 55.

Using the sine rule,

2sin⁡A= 5sin⁡θsin⁡θ= 5sin⁡(22.33…∘)2.\begin{align*} \frac{2}{\sin A} =&\,\frac{5}{\sin\theta}\\ \sin\theta =&\,\frac{5\sin(22.33\ldots^\circ)}{2}. \end{align*}

This gives the obtuse angle

θ=108.2∘\begin{align*} \theta=108.2^\circ \end{align*}

to one decimal place.

(b)

解法一

思路

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设三边为 2x,4x,5x2x,4x,5x。用两边夹角面积公式 12absin⁡C\frac12ab\sin C，其中 2x2x 和 4x4x 夹着最大角。

答题过程

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Let the side lengths be

2x,4x,5x.\begin{align*} 2x,\quad4x,\quad5x. \end{align*}

Using the angle from part (a),

140= 12(2x)(4x)sin⁡(108.2…∘)140= 4x2sin⁡(108.2…∘).\begin{align*} 140=&\,\frac12(2x)(4x)\sin(108.2\ldots^\circ)\\ 140=&\,4x^2\sin(108.2\ldots^\circ). \end{align*}

So

x2= 1404sin⁡(108.2…∘)= 36.845…\begin{align*} x^2 =&\,\frac{140}{4\sin(108.2\ldots^\circ)}\\ =&\,36.845\ldots \end{align*}

and

x=6.070…\begin{align*} x=6.070\ldots \end{align*}

The shortest side is 2x2x, so

2x= 12.140…= 12.1 cm\begin{align*} 2x=&\,12.140\ldots\\ =&\,12.1\text{ cm} \end{align*}

to one decimal place.