题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(a) Express $2x^2-16x+50$ in the form

\begin{align*} a(x+b)^2+c \end{align*}

where $a$ , $b$ and $c$ are constants to be found.

(3)

Figure 1 shows a sketch of the curve $C$ with equation $y=2x^2-16x+50$ .

Given that in Figure 1

$M$ is the minimum point on $C$
line $l$ passes through the origin and intersects $C$ at the points $M$ and $P$

(b) find, using algebra and showing your working, the $x$ coordinate of $P$ .

(5)

The region $R$ is shown shaded in Figure 1.

(2)

题目中文翻译

本题必须写出解题过程的所有步骤。 不接受依赖计算器技术所得的解答。

(a) 将 $2x^2-16x+50$ 表示成 $a(x+b)^2+c$ 的形式，其中 $a,b,c$ 为待求常数。

图 1 是曲线 $C:y=2x^2-16x+50$ 的草图。

已知在图 1 中：

$M$ 是 $C$ 的最低点；
直线 $l$ 经过原点，并在 $M$ 、 $P$ 两点与 $C$ 相交。

(b) 使用代数方法并写出过程，求点 $P$ 的 $x$ 坐标。

区域 $R$ 在图 1 中以阴影表示。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先提出二次项系数 $2$ ，再对括号内完成平方。

答题过程

展开

\begin{align*} 2x^2-16x+50 =&\,2(x^2-8x)+50\\ =&\,2\bigl((x-4)^2-16\bigr)+50\\ =&\,2(x-4)^2-32+50\\ =&\,2(x-4)^2+18. \end{align*}

\begin{align*} a=2,\qquad b=-4,\qquad c=18. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

由 (a) 可知最低点 $M=(4,18)$ 。直线 $l$ 过原点和 $M$ ，所以先求 $l$ 的方程，再与曲线联立。交点之一是 $M$ ，另一个就是 $P$ 。

答题过程

展开

From part (a), the minimum point is

\begin{align*} M=(4,18). \end{align*}

Since $l$ passes through $(0,0)$ and $M(4,18)$ , its gradient is

\begin{align*} \frac{18}{4}=\frac92. \end{align*}

\begin{align*} l:\quad y=\frac92x. \end{align*}

At intersections of $l$ and $C$ ,

\begin{align*} 2x^2-16x+50=&\,\frac92x. \end{align*}

Multiply by $2$ :

\begin{align*} 4x^2-32x+100=&\,9x\\ 4x^2-41x+100=&\,0. \end{align*}

Factorise:

\begin{align*} 4x^2-41x+100 =&\,(x-4)(4x-25). \end{align*}

\begin{align*} (x-4)(4x-25)=&\,0. \end{align*}

The solution $x=4$ is the point $M$ , so point $P$ has

\begin{align*} x=\frac{25}{4}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可直接对曲线求导，以导数为 $0$ 求最低点 $M$ ，再由原点与 $M$ 建立直线 $l$ ，最后联立直线与曲线求另一交点 $P$ 。

答题过程

展开

For

\begin{align*} y=2x^2-16x+50, \end{align*}

differentiate to obtain

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=4x-16. \end{align*}

At the minimum point $M$ ,

\begin{align*} 4x-16=&\,0\\ x=&\,4. \end{align*}

Hence

\begin{align*} y_M=&\,2(4)^2-16(4)+50\\ =&\,18, \end{align*}

so $M=(4,18)$ . Since $l$ passes through $O$ and $M$ ,

\begin{align*} l:\quad y=\frac{18}{4}x=\frac92x. \end{align*}

At the intersections of $l$ and $C$ ,

\begin{align*} 2x^2-16x+50=&\,\frac92x\\ 4x^2-41x+100=&\,0\\ (x-4)(4x-25)=&\,0. \end{align*}

The root $x=4$ gives $M$ , so the other intersection $P$ has

\begin{align*} x=\frac{25}{4}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

区域 $R$ 位于直线 $l$ 上方、曲线 $C$ 下方，并且在 $y$ 轴和最低点 $M$ 之间。由于 $M$ 的 $x$ 坐标为 $4$ ，所以 $0\leqslant x\leqslant4$ 。

答题过程

展开

The lower boundary is

\begin{align*} y=\frac92x. \end{align*}

The upper boundary is

\begin{align*} y=2x^2-16x+50. \end{align*}

Also the region runs from $x=0$ to $x=4$ .

Therefore $R$ is defined by

\begin{align*} 0\leqslant x\leqslant4, \qquad \frac92x\leqslant y\leqslant2x^2-16x+50. \end{align*}

P1 2025 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程