题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Figure 2 shows the plan view of a design for a swimming pool.

Figure 2

The design consists of a sector $POS$ of a circle centre $O$ joined to a major sector $QORTQ$ of a different circle, also with centre $O$ .

Given that

angle $POS$ is $1.65$ radians
the area of sector $POS$ is $30$ m $^2$
$PQ=2.8$ m

(a) show that, to 3 significant figures, $OQ=8.83$ m.

(3)

(b) Find the total surface area of the swimming pool in m $^2$ to the nearest integer.

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先用小扇形 $POS$ 的面积求半径 $OP$ 。因为 $P,Q,O$ 在同一直线上，并且 $PQ=2.8$ ，所以 $OQ=OP+PQ$ 。

答题过程

展开

Let

\begin{align*} OP=r. \end{align*}

Using the sector area formula,

\begin{align*} \frac12r^2(1.65)=&\,30\\ r^2=&\,\frac{60}{1.65}\\ r=&\,6.030\ldots \end{align*}

Since $PQ=2.8$ ,

\begin{align*} OQ=&\,OP+PQ\\ =&\,6.030\ldots+2.8\\ =&\,8.830\ldots \end{align*}

Therefore

\begin{align*} OQ=8.83\text{ m} \end{align*}

to 3 significant figures.

解法二

思路

展开

代数方程整体求解法。除了先计算小半径 $OP = r$ 再加 $2.8$ 得到大半径 $OQ$ 的分步法外，我们也可以直接设大半径为未知数 $R = OQ$ 。因为 $P, Q, O$ 在同一直线上且 $PQ = 2.8$ ，所以小半径即为 $OP = R - 2.8$ 。利用小扇形 $POS$ 面积为 $30$ 的条件，我们可以直接列出关于 $R$ 的一元二次方程：

\begin{align*} \frac{1}{2}(R - 2.8)^2 \times 1.65 = 30 \end{align*}

通过直接求解该方程，可一步得到大半径 $R$ 的值。该方法在代数结构上更加紧凑、一气呵成。

答题过程

展开

Let the radius of the major sector be $R = OQ$ . Since $PQ = 2.8$ m and $P$ , $Q$ , $O$ lie on a straight line, the radius of the minor sector is:

\begin{align*} OP = R - 2.8. \end{align*}

Using the area of sector $POS$ :

\begin{align*} \frac{1}{2}(R - 2.8)^2(1.65) =&\,\, 30. \end{align*}

Solve for $R$ :

\begin{align*} (R - 2.8)^2 =&\,\, \frac{60}{1.65}\\[3mm] R - 2.8 =&\,\, \sqrt{\frac{60}{1.65}}\\[3mm] R - 2.8 =&\,\, 6.030\ldots\\[3mm] R =&\,\, 6.030\ldots + 2.8\\[3mm] =&\,\, 8.830\ldots \end{align*}

Therefore:

\begin{align*} OQ =&\,\, 8.83\text{ m} \end{align*}

to 3 significant figures.

(b)

解法一

思路

展开

总面积等于小扇形 $POS$ 的面积加上大圆的优弧扇形 $QORTQ$ 面积。大扇形的圆心角是 $2\pi-1.65$ 。

答题过程

展开

The angle of the major sector is

\begin{align*} 2\pi-1.65. \end{align*}

Using $OQ=8.830\ldots$ ,

\begin{align*} \text{total area} =&\,30+\frac12(8.830\ldots)^2(2\pi-1.65)\\ =&\,210.631\ldots \end{align*}

Therefore the total surface area is

\begin{align*} 211\text{ m}^2 \end{align*}

to the nearest integer.

(c)

解法一

思路

展开

周长由小扇形的弧 $PS$ 、大扇形的优弧 $QRT$ ，以及两段直线 $PQ$ 和 $ST$ 组成。两段直线长度都等于 $2.8$ 。

答题过程

展开

The arc length $PS$ is

\begin{align*} 6.030\ldots(1.65). \end{align*}

The major arc length $QRT$ is

\begin{align*} 8.830\ldots(2\pi-1.65). \end{align*}

So the total perimeter is

\begin{align*} &\,6.030\ldots(1.65)\\ &\,\hspace{2pt}+8.830\ldots(2\pi-1.65)\\ &\,\hspace{4pt}+2(2.8)\\ =&\,56.461\ldots \end{align*}

Therefore the perimeter is

\begin{align*} 56\text{ m} \end{align*}

to 2 significant figures.

IAL 2025 Oct Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程