本题必须写出解题过程的所有步骤。 不接受完全依赖计算器技术所得的解答。

图 2 是一个游泳池设计的俯视图。该设计由以 $O$ 为圆心的扇形 $POS$，与另一个同样以 $O$ 为圆心的圆的优扇形 $QORTQ$ 拼接而成。

已知：

• $\angle POS=1.65$ 弧度；
• 扇形 $POS$ 的面积为 $30\text{ m}^2$；
• $PQ=2.8\text{ m}$。

(a) 证明 $OQ=8.83\text{ m}$（精确到 $3$ 位有效数字）。

(b) 求游泳池的总表面积，以 $\text{m}^2$ 为单位，精确到最接近的整数。

(c) 求游泳池的总周长，以米为单位，精确到 $2$ 位有效数字。

先用小扇形 $POS$ 的面积求半径 $OP$。因为 $P,Q,O$ 在同一直线上，并且 $PQ=2.8$，所以 $OQ=OP+PQ$。

Let

Using the sector area formula,

Since $PQ=2.8$,

Therefore

to 3 significant figures.

代数方程整体求解法。 除了先计算小半径 $OP = r$ 再加 $2.8$ 得到大半径 $OQ$ 的分步法外，我们也可以直接设大半径为未知数 $R = OQ$。 因为 $P, Q, O$ 在同一直线上且 $PQ = 2.8$，所以小半径即为 $OP = R - 2.8$。 利用小扇形 $POS$ 面积为 $30$ 的条件，我们可以直接列出关于 $R$ 的一元二次方程：

通过直接求解该方程，可一步得到大半径 $R$ 的值。该方法在代数结构上更加紧凑、一气呵成。

Let the radius of the major sector be $R = OQ$. Since $PQ = 2.8$ m and $P$, $Q$, $O$ lie on a straight line, the radius of the minor sector is:

Using the area of sector $POS$:

Solve for $R$:

Therefore:

to 3 significant figures.

总面积等于小扇形 $POS$ 的面积加上大圆的优弧扇形 $QORTQ$ 面积。大扇形的圆心角是 $2\pi-1.65$。

The angle of the major sector is

Using $OQ=8.830\ldots$,

Therefore the total surface area is

to the nearest integer.

周长由小扇形的弧 $PS$、大扇形的优弧 $QRT$，以及两段直线 $PQ$ 和 $ST$ 组成。两段直线长度都等于 $2.8$。

The arc length $PS$ is

The major arc length $QRT$ is

So the total perimeter is

Therefore the perimeter is

to 2 significant figures.