题目

Problem

The line $l_1$ , shown in Figure 1, has equation $2y=3x+8$ .

The line $l_1$ intersects the $y$ -axis at the point $P$ and passes through the point $Q$ with $x$ coordinate $6$ .

(a) Find

(i) the coordinates of $P$ ,

(ii) the coordinates of $Q$ .

(2)

The line $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through the point $Q$ .

(b) Find an equation for $l_2$ , writing the answer in the form $ax+by+c=0$ , where $a$ , $b$ and $c$ are integers.

(4)

The line $l_2$ cuts the $x$ -axis at the point $R$ .

(3)

题目中文翻译

直线 $l_1$ 如图 1 所示，其方程为 $2y=3x+8$ 。

直线 $l_1$ 与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，并经过横坐标为 $6$ 的点 $Q$ 。

(a) 求：

(i) 点 $P$ 的坐标；

(ii) 点 $Q$ 的坐标。

直线 $l_2$ 垂直于 $l_1$ ，并经过点 $Q$ 。

(b) 求 $l_2$ 的方程，并将答案写成 $ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为整数。

直线 $l_2$ 与 $x$ 轴相交于点 $R$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

$P$ 在 $y$ 轴上，所以 $x=0$ 。 $Q$ 的 $x$ 坐标已给为 $6$ ，分别代入直线方程即可。

答题过程

展开

For $P$ , put $x=0$ :

\begin{align*} 2y=&\,3(0)+8\\ y=&\,4. \end{align*}

\begin{align*} P=(0,4). \end{align*}

For $Q$ , put $x=6$ :

\begin{align*} 2y=&\,3(6)+8\\ 2y=&\,26\\ y=&\,13. \end{align*}

\begin{align*} Q=(6,13). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先从 $2y=3x+8$ 读出 $l_1$ 的斜率，再取负倒数得到垂线 $l_2$ 的斜率。最后用 $Q(6,13)$ 代入点斜式。

答题过程

展开

Since

\begin{align*} 2y=&\,3x+8\\ y=&\,\frac32x+4, \end{align*}

the gradient of $l_1$ is $\dfrac32$ .

Therefore the gradient of $l_2$ is

\begin{align*} -\frac{1}{3/2}=-\frac23. \end{align*}

Using $Q(6,13)$ ,

\begin{align*} y-13=&\,-\frac23(x-6)\\ 3y-39=&\,-2x+12\\ 2x+3y-51=&\,0. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

先求出 $R$ ，再把四边形拆成两个三角形： $\triangle OPQ$ 和 $\triangle OQR$ 。这样底边都可以放在坐标轴方向或用水平距离，计算很直接。

答题过程

展开

At $R$ , $y=0$ . Using $2x+3y-51=0$ ,

\begin{align*} 2x-51=&\,0\\ x=&\,\frac{51}{2}. \end{align*}

\begin{align*} R=\left(\frac{51}{2},0\right). \end{align*}

The area of $\triangle OPQ$ is

\begin{align*} \frac12\times OP\times 6 =&\,\frac12\times4\times6\\ =&\,12. \end{align*}

The area of $\triangle OQR$ is

\begin{align*} \frac12\times OR\times 13 =&\,\frac12\times\frac{51}{2}\times13\\ =&\,\frac{663}{4}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \text{area of }OPQR =&\,12+\frac{663}{4}\\ =&\,\frac{711}{4}\\ =&\,177.75. \end{align*}

P1 2026 Jan A Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程