题目

Problem

Figure 2 shows a sketch of part of the curve with equation $y=f(x)$ .

The curve crosses the $y$ -axis at the point $(0,8)$ .

The line with equation $y=10$ is the only asymptote to the curve.

The curve has a single turning point, a minimum point at $(2,5)$ , as shown in Figure 2.

(a) State the coordinates of the minimum point of the curve with equation

\begin{align*} y=f\left(\frac14x\right) \end{align*}

(1)

(b) State the equation of the asymptote to the curve with equation $y=f(x)-3$

(1)

The curve with equation $y=f(x)$ meets the line with equation $y=k$ , where $k$ is a constant, at two distinct points.

(2)

(d) Sketch the curve with equation $y=-f(x)$ . On your sketch, show clearly the coordinates of the turning point, the coordinates of the intersection with the $y$ -axis and the equation of the asymptote.

(3)

题目中文翻译

图 2 给出了曲线 $y=f(x)$ 的一部分草图。

曲线在点 $(0,8)$ 处与 $y$ 轴相交。

直线 $y=10$ 是该曲线唯一的渐近线。

曲线只有一个转折点，即图 2 所示的最低点 $(2,5)$ 。

(a) 写出曲线

\begin{align*} y=f\bigg(\frac14x\bigg) \end{align*}

最低点的坐标。

(b) 写出曲线 $y=f(x)-3$ 的渐近线方程。

曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=k$ 相交于两个不同的点，其中 $k$ 为常数。

(d) 作曲线 $y=-f(x)$ 的草图。在图中清楚标出转折点坐标、与 $y$ 轴交点的坐标以及渐近线方程。

解答

(a)

解法一

思路

展开

$y=f\left(\frac14x\right)$ 表示水平方向放大 $4$ 倍。原来的最小点 $(2,5)$ 变成 $x$ 坐标乘以 $4$ ， $y$ 坐标不变。

答题过程

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The transformation

\begin{align*} y=f\left(\frac14x\right) \end{align*}

is a stretch parallel to the $x$ -axis with scale factor $4$ .

Therefore

\begin{align*} (2,5)\mapsto(8,5). \end{align*}

The minimum point is

\begin{align*} (8,5). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$y=f(x)-3$ 表示整体向下平移 $3$ 个单位，所以水平渐近线也向下平移 $3$ 个单位。

答题过程

展开

The original asymptote is

\begin{align*} y=10. \end{align*}

For $y=f(x)-3$ , it is translated down by $3$ units, so the asymptote is

\begin{align*} y=7. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

水平线 $y=k$ 要与曲线有两个不同交点。根据图像，最低点是 $y=5$ ，渐近线是 $y=10$ 。只有当水平线在最低点上方、渐近线下方时，才会切过左右两支各一次。

答题过程

展开

For two distinct intersections, the horizontal line $y=k$ must lie above the minimum value and below the asymptote.

Hence

\begin{align*} 5<k<10. \end{align*}

(d)

解法一

思路

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$y=-f(x)$ 是把原图像关于 $x$ 轴反射。所有 $y$ 坐标变号， $x$ 坐标不变；最小点会变成最大点，水平渐近线 $y=10$ 会变成 $y=-10$ 。

答题过程

展开

Under the transformation $y=-f(x)$ :

\begin{align*} (2,5)&\mapsto(2,-5),\\ (0,8)&\mapsto(0,-8),\\ y=10&\mapsto y=-10. \end{align*}

So the sketch should be the reflection of the original curve in the $x$ -axis, with:

\begin{align*} \text{turning point }=&\,(2,-5),\\ \text{intersection with the }y\text{-axis }=&\,(0,-8),\\ \text{asymptote }&:y=-10. \end{align*}

P1 2026 Jan A Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程