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P1 2026 Jan Q2

A Level / Edexcel / P1

IAL 2026 Jan Paper · Question 2

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(a) Given

y−x=4\begin{align*} y-x=4 \end{align*}

and

2x2−xy=8\begin{align*} 2x^2-xy=8 \end{align*}

show that

x2−4x−8=0\begin{align*} x^2-4x-8=0 \end{align*}
(2)

(b) Hence solve the simultaneous equations

y−x=4\begin{align*} y-x=4 \end{align*} 2x2−xy=8\begin{align*} 2x^2-xy=8 \end{align*}

writing the answers in the form p+q3p+q\sqrt3, where pp and qq are integers to be found.

(4)
题目中文翻译

本题必须写出全部演算步骤。 依赖计算器技术的解答不予接受。

(a) 已知

y−x=4\begin{align*} y-x=4 \end{align*}

且

2x2−xy=8,\begin{align*} 2x^2-xy=8, \end{align*}

证明

x2−4x−8=0.\begin{align*} x^2-4x-8=0. \end{align*}

(b) 由此解这组联立方程，并把答案写成 p+q3p+q\sqrt3 的形式，其中 pp、qq 为待求整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

由 y−x=4y-x=4 得到 y=x+4y=x+4，再代入第二个方程。因为题目要求 “show that”，中间展开步骤要写清楚。

答题过程

展开

From

y−x=4,\begin{align*} y-x=4, \end{align*}

we have

y=x+4\begin{align*} y=x+4 \end{align*}

Substitute this into 2x2−xy=82x^2-xy=8:

2x2−x(x+4)= 82x2−x2−4x= 8x2−4x−8= 0\begin{align*} 2x^2-x(x+4) =&\,8\\[3mm] 2x^2-x^2-4x =&\,8\\[3mm] x^2-4x-8 =&\,0 \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

用 (a) 得到的二次方程。这个方程不能整数因式分解，所以可以配方，得到含 3\sqrt3 的精确解。

答题过程

展开

From part (a),

x2−4x−8=0\begin{align*} x^2-4x-8=0 \end{align*}

Complete the square:

x2−4x−8= 0(x−2)2−12= 0(x−2)2= 12x−2= ±23\begin{align*} x^2-4x-8 =&\,0\\[3mm] (x-2)^2-12 =&\,0\\[3mm] (x-2)^2 =&\,12\\[3mm] x-2 =&\,\pm2\sqrt3 \end{align*}

So

x=2±23\begin{align*} x=2\pm2\sqrt3 \end{align*}

Since y=x+4y=x+4,

y=6±23\begin{align*} y=6\pm2\sqrt3 \end{align*}

Therefore the solutions are

x=2+23,y=6+23\begin{align*} x=2+2\sqrt3,\quad y=6+2\sqrt3 \end{align*}

and

x=2−23,y=6−23\begin{align*} x=2-2\sqrt3,\quad y=6-2\sqrt3 \end{align*}