题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

The point $A(-1,8)$ and the point $B(7,2)$ lie on the line $L_1$ .

(a) Find an equation for $L_1$ in the form $ax+by+c=0$ , where $a$ , $b$ and $c$ are integers.

(3)

The line $L_2$

passes through $A$ and is perpendicular to $L_1$
cuts the $x$ -axis at the point $C$

(b) Find the coordinates of $C$ .

(3)

题目中文翻译

本题必须写出全部演算步骤。 依赖计算器技术的解答不予接受。

点 $A(-1,8)$ 和点 $B(7,2)$ 位于直线 $L_1$ 上。

(a) 求 $L_1$ 的方程，并写成 $ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为整数。

直线 $L_2$ ：

经过点 $A$ 且垂直于 $L_1$ ；
与 $x$ 轴交于点 $C$ 。

(b) 求点 $C$ 的坐标。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先用两点求斜率，再用点斜式写直线方程，最后整理成整数系数的 $ax+by+c=0$ 。

答题过程

展开

The gradient of $L_1$ is

\begin{align*} m =&\, \frac{2-8}{7-(-1)}\\[3mm] =&\, \frac{-6}{8}\\[3mm] =&\, -\frac34 \end{align*}

Using point $B(7,2)$ ,

\begin{align*} y-2=-\frac34(x-7) \end{align*}

Multiply by $4$ :

\begin{align*} 4y-8 =&\, -3x+21\\[3mm] 3x+4y-29 =&\, 0 \end{align*}

Therefore

\begin{align*} L_1:\quad 3x+4y-29=0 \end{align*}

解法二

思路

展开

把两个已知点代入 $y=mx+c$ ，联立求出 $m$ 与 $c$ 。

答题过程

展开

Substituting $A(-1,8)$ and $B(7,2)$ into $y=mx+c$ gives

\begin{align*} 8=&\,-m+c,\\[3mm] 2=&\,7m+c. \end{align*}

Subtracting the first equation from the second,

\begin{align*} -6=&\,8m\\[3mm] m=&\,-\frac34. \end{align*}

Then

\begin{align*} c=&\,8+m\\[3mm] =&\,\frac{29}{4}. \end{align*}

Hence

\begin{align*} y=&\,-\frac34x+\frac{29}{4}\\[3mm] 3x+4y-29=&\,0. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

垂直直线的斜率互为负倒数。 $L_1$ 的斜率是 $-\dfrac34$ ，所以 $L_2$ 的斜率是 $\dfrac43$ 。再令 $y=0$ 找 $x$ 轴交点。

答题过程

展开

Since $L_2$ is perpendicular to $L_1$ , its gradient is

\begin{align*} \frac43 \end{align*}

Using $A(-1,8)$ ,

\begin{align*} y-8=\frac43(x+1) \end{align*}

At the $x$ -axis, $y=0$ , so

\begin{align*} 0-8 =&\, \frac43(x+1)\\[3mm] -24 =&\, 4(x+1)\\[3mm] -6 =&\, x+1\\[3mm] x =&\, -7 \end{align*}

Therefore

\begin{align*} C=(-7,0) \end{align*}

解法二

思路

展开

不必先写出 $L_2$ 的完整方程。令 $C=(k,0)$ ，直接用 $AC$ 的斜率等于 $L_1$ 斜率的负倒数。

答题过程

展开

Let

\begin{align*} C=(k,0). \end{align*}

Since $AC$ is perpendicular to $L_1$ , its gradient is $\dfrac43$ . Therefore

\begin{align*} \frac{0-8}{k-(-1)}=&\,\frac43\\[3mm] -\frac8{k+1}=&\,\frac43\\[3mm] -24=&\,4(k+1)\\[3mm] k=&\,-7. \end{align*}

Hence

\begin{align*} C=(-7,0). \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

因为 $AB$ 在 $L_1$ 上， $AC$ 在垂直的 $L_2$ 上，所以三角形 $ABC$ 在 $A$ 处是直角。面积是 $\dfrac12 AB\cdot AC$ 。

答题过程

展开

Find $AB$ :

\begin{align*} AB =&\, \sqrt{(7-(-1))^2+(2-8)^2}\\[3mm] =&\, \sqrt{8^2+(-6)^2}\\[3mm] =&\, 10 \end{align*}

Find $AC$ :

\begin{align*} AC =&\, \sqrt{(-7-(-1))^2+(0-8)^2}\\[3mm] =&\, \sqrt{(-6)^2+(-8)^2}\\[3mm] =&\, 10 \end{align*}

Since $AB$ is perpendicular to $AC$ ,

\begin{align*} \text{Area} =&\, \frac12(AB)(AC)\\[3mm] =&\, \frac12(10)(10)\\[3mm] =&\, 50 \end{align*}

解法二

思路

展开

由前一解法可知 $AB=AC=10$ ，所以三角形 $ABC$ 是等腰三角形。从 $A$ 向底边 $BC$ 作中线，它同时也是高。

答题过程

展开

The midpoint of $BC$ is

\begin{align*} M =&\, \left(\frac{7+(-7)}2,\frac{2+0}2\right)\\[3mm] =&\,(0,1). \end{align*}

Also,

\begin{align*} BC =&\,\sqrt{\big(7-(-7)\big)^2+(2-0)^2}\\[3mm] =&\,10\sqrt2, \end{align*}

and

\begin{align*} AM =&\,\sqrt{\big(0-(-1)\big)^2+(1-8)^2}\\[3mm] =&\,5\sqrt2. \end{align*}

Since $AB=AC$ , $AM$ is perpendicular to $BC$ . Hence

\begin{align*} \text{Area} =&\,\frac12(BC)(AM)\\[3mm] =&\,\frac12(10\sqrt2)(5\sqrt2)\\[3mm] =&\,50. \end{align*}

解法三

思路

展开

使用鞋带定理，直接从三个顶点的坐标求面积。

答题过程

展开

For $A(-1,8)$ , $B(7,2)$ and $C(-7,0)$ , the two diagonal sums in the shoelace formula are

\begin{align*} S_1 =&\,(-1)(2)+7(0)+(-7)(8)\\[3mm] =&\,-58, \end{align*}

and

\begin{align*} S_2 =&\,8(7)+2(-7)+0(-1)\\[3mm] =&\,42. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \text{Area} =&\,\frac12\big|S_1-S_2\big|\\[3mm] =&\,\frac12\big|-58-42\big|\\[3mm] =&\,50. \end{align*}

P1 2026 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程