本题必须写出全部演算步骤。 依赖计算器技术的解答不予接受。

曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$，其中 $x>0$。点 $P$ 位于曲线 $C$ 上。

已知：

• $f'(x)=4x^2+\dfrac{6}{x^2}-4$；
• 曲线 $C$ 在 $P$ 点的切线方程为 $y=10x-6\sqrt3$。

(a) (i) 验证 $\sqrt3$ 是点 $P$ 的一个可能的 $x$ 坐标；

(ii) 使用代数方法求点 $P$ 的另一个可能的 $x$ 坐标。

已知点 $P$ 的 $x$ 坐标为 $\sqrt3$。

(b) 求曲线 $C$ 在 $P$ 点的法线方程。

(c) 求 $f(x)$，并把答案写成最简形式。必须写出每一步演算。

切线斜率是 $10$，所以可能的 $x$ 坐标满足 $f'(x)=10$。先代入 $x=\sqrt3$ 验证，再解方程找另一个正的 $x$ 值。

The gradient of the tangent is $10$.

For $x=\sqrt3$,

This is equal to the gradient of the tangent, so $\sqrt3$ is a possible $x$ coordinate of $P$.

For the other possible coordinate, solve

Then

Factorise:

So

Since $x>0$, the possible $x$ coordinates are

Therefore the other possible $x$ coordinate is

切线斜率是 $10$，所以法线斜率是 $-\dfrac1{10}$。点 $P$ 的 $y$ 坐标可由切线方程代入 $x=\sqrt3$ 得到。

When $x=\sqrt3$, using the tangent equation,

So

The gradient of the normal is

Therefore the normal is

对 $f'(x)$ 积分得到 $f(x)$，再用点 $P(\sqrt3,4\sqrt3)$ 求积分常数。

Since

integrating gives

Using $P(\sqrt3,4\sqrt3)$,

So

Therefore