求出二项式展开式 $\left( 2 + \frac{3}{8}x \right)^{10}$ 展开项中按 $x$ 升序排列的前四项。将每个系数写为整数。

这里我们需要使用二项式定理（Binomial Theorem）直接展开：

在此题中：

• $a = 2$
• $b = \frac{3}{8}x$
• $n = 10$

我们要找到前四项（即包含常数项、 $x$ 项、 $x^2$ 项和 $x^3$ 项）。 计算各组合数系数：

• $\binom{10}{1} = 10$
• $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$
• $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

依次展开并把分母中的 $8, 8^2, 8^3$ 与前面的 $2^9, 2^8, 2^7$ 进行约分化简，确保系数均算出最终整数。

Using the binomial expansion formula:

Now calculate each term individually:

• First term (constant): $2^{10} = 1024$

• Second term ($x$): $\binom{10}{1} 2^9 \left(\frac{3}{8}x\right) = 10 \times 512 \times \frac{3}{8}x = 1920x$

• Third term ($x^2$): $\binom{10}{2} 2^8 \left(\frac{3}{8}x\right)^2 = 45 \times 256 \times \frac{9}{64}x^2 = 45 \times 4 \times 9 x^2 = 1620x^2$

• Fourth term ($x^3$): $\binom{10}{3} 2^7 \left(\frac{3}{8}x\right)^3 = 120 \times 128 \times \frac{27}{512}x^3 = 120 \times \frac{1}{4} \times 27 x^3 = 810x^3$

Combining these terms:

我们可以先把括号内的常数项 $2$ 提出来，化为标准形式 $(1 + y)^n$ 来展开：

接着对括号内利用标准二项式展开公式：

其中代入 $y = \frac{3}{16}x$，然后再整体乘以 $2^{10} = 1024$。这种方法不容易在处理大数（如 $2^9, 2^8$）和分母约分时出错。

Factor out $2$ from the brackets:

Now expand $\left( 1 + \frac{3}{16}x \right)^{10}$:

Multiply the expansion by $1024$: