题目

Problem

Find the first four terms, in ascending powers of $x$ , of the binomial expansion of

\Big( 2 + \frac{3}{8}x \Big)^{10}

Give each coefficient as an integer.

(4)

题目中文翻译

求出二项式展开式 $\Big( 2 + \frac{3}{8}x \Big)^{10}$ 展开项中按 $x$ 升序排列的前四项。将每个系数写为整数。

解答

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这里我们需要使用二项式定理（Binomial Theorem）直接展开：

\begin{align*} (a+b)^n=&\,a^n+\binom n1a^{n-1}b\\ &\,\hspace{2pt}+\binom n2a^{n-2}b^2\\ &\,\hspace{4pt}+\binom n3a^{n-3}b^3+\cdots. \end{align*}

在此题中：

我们要找到前四项（即包含常数项、 $x$ 项、 $x^2$ 项和 $x^3$ 项）。计算各组合数系数：

依次展开并把分母中的 $8, 8^2, 8^3$ 与前面的 $2^9, 2^8, 2^7$ 进行约分化简，确保系数均算出最终整数。

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Using the binomial expansion formula:

\begin{align*} \Big( 2 + \frac{3}{8}x \Big)^{10} =&\,2^{10}+\binom{10}{1}2^9\Big(\frac38x\Big)\\ &\,\hspace{2pt}+\binom{10}{2}2^8\Big(\frac38x\Big)^2\\ &\, + \binom{10}{3} 2^7 \Big(\frac{3}{8}x\Big)^3 + \cdots \end{align*}

Now calculate each term individually:

2^{10} = 1024

\binom{10}{1} 2^9 \Big(\frac{3}{8}x\Big) = 10 \times 512 \times \frac{3}{8}x = 1920x

\begin{align*} \binom{10}{2} 2^8 \Big(\frac{3}{8}x\Big)^2 =&\, 45 \times 256 \times \frac{9}{64}x^2 \\ =&\, 45 \times 4 \times 9 x^2 \\ =&\, 1620x^2 \end{align*}

\begin{align*} \binom{10}{3} 2^7 \Big(\frac{3}{8}x\Big)^3 =&\, 120 \times 128 \times \frac{27}{512}x^3 \\ =&\, 120 \times \frac{1}{4} \times 27 x^3 \\ =&\, 810x^3 \end{align*}

Combining these terms:

\Big( 2 + \frac{3}{8}x \Big)^{10} = 1024 + 1920x + 1620x^2 + 810x^3 + \cdots

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我们可以先把括号内的常数项 $2$ 提出来，化为标准形式 $(1 + y)^n$ 来展开：

\begin{align*} \Big( 2 + \frac{3}{8}x \Big)^{10} =&\, \Big[ 2 \Big( 1 + \frac{3}{16}x \Big) \Big]^{10} \\ =&\, 2^{10} \Big( 1 + \frac{3}{16}x \Big)^{10} \end{align*}

接着对括号内利用标准二项式展开公式：

(1 + y)^{10} = 1 + 10y + 45y^2 + 120y^3 + \cdots

其中代入 $y = \frac{3}{16}x$ ，然后再整体乘以 $2^{10} = 1024$ 。这种方法不容易在处理大数（如 $2^9, 2^8$ ）和分母约分时出错。

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Factor out $2$ from the brackets:

\begin{align*} \Big( 2 + \frac{3}{8}x \Big)^{10} =&\, \Big[ 2 \Big(1 + \frac{3}{16}x\Big) \Big]^{10} \\ =&\, 1024 \Big( 1 + \frac{3}{16}x \Big)^{10} \end{align*}

Now expand $\Big( 1 + \frac{3}{16}x \Big)^{10}$ :

\begin{align*} \Big( 1 + \frac{3}{16}x \Big)^{10} =&\,1+10\Big(\frac3{16}x\Big) +45\Big(\frac3{16}x\Big)^2\\ &\,\hspace{2pt}+120\Big(\frac3{16}x\Big)^3+\cdots\\ =&\,1+\frac{15}{8}x+\frac{405}{256}x^2\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{405}{512}x^3+\cdots \end{align*}

Multiply the expansion by $1024$ :

\begin{align*} \Big( 2 + \frac{3}{8}x \Big)^{10} =&\,1024\Big(1+\frac{15}{8}x+\frac{405}{256}x^2\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{405}{512}x^3+\cdots\Big)\\ =&\, 1024 + 1920x + 1620x^2 + 810x^3 + \cdots \end{align*}