圆 $C$ 的圆心为 $X(3, 5)$，半径为 $r$。 直线 $l$ 的方程为 $y = 2x + k$，其中 $k$ 为常数。

(a) 证明：直线 $l$ 与圆 $C$ 相交的交点 $x$ 坐标满足方程：

(3)

已知 $l$ 是圆 $C$ 的一条切线，

(b) 证明 $5r^2 = (k + p)^2$，其中 $p$ 是一个待求的常数。 (3)

直线 $l$

• 与 $y$ 轴交于点 $A$
• 与圆 $C$ 相切于点 $B$

如图 2 所示。

已知线段长度 $AB = 2r$，

(c) 求出 $k$ 的值。 (6)

首先利用圆心坐标 $X(3, 5)$ 和半径 $r$ 写出圆 $C$ 的标准方程：

为了求交点，我们将直线方程 $y = 2x + k$ 代入到圆方程中消去 $y$：

分别展开这两项，并整理成关于 $x$ 的一元二次方程形式：

1. 展开第一项：$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$
2. 展开第二项：将其视为 $[2x + (k - 5)]^2 = 4x^2 + 4(k - 5)x + (k - 5)^2 = 4x^2 + (4k - 20)x + (k^2 - 10k + 25)$
3. 两部分合并相加并令右侧为 $0$，即可得到待证的一元二次方程。

The standard equation of a circle with centre $X(3, 5)$ and radius $r$ is:

Substitute the equation of the line $l: y = 2x + k$ into the circle equation:

Expand each term:

Sum the expanded terms:

Combine like terms:

This matches the printed equation.

因为直线 $l$ 是圆 $C$ 的切线（Tangent），所以在几何上它们只有一个公共交点。 这意味着联立后关于 $x$ 的一元二次方程：

有且仅有一个重根（唯一实数解）。 所以，该一元二次方程的判别式（Discriminant）必须等于零，即：

其中：

• $A = 5$
• $B = 4k - 26$
• $C = k^2 - 10k + 34 - r^2$

代入并展开这个判别式方程：

展开并合并同类项，然后整理出 $5r^2 = (k + p)^2$ 的形式，确定常数 $p$ 的值。

Since the line $l$ is a tangent to the circle $C$, the quadratic equation from part (a) must have exactly one real solution. Thus, its discriminant must be zero:

Identify the coefficients:

• $a = 5$
• $b = 4k - 26$
• $c = k^2 - 10k + 34 - r^2$

Set the discriminant to $0$:

Expand both terms:

Subtract the second expression from the first:

Move $20r^2$ to the other side:

Divide the entire equation by $4$:

Factorize the quadratic on the right-hand side:

This is in the form $5r^2 = (k + p)^2$ with $p = 1$.

切线斜率为 $2$，所以半径 $XB$ 的斜率为 $-1/2$。求两直线交点 $B$，再将 $BX^2=r^2$ 化简。

Since $XB$ is perpendicular to the tangent, its equation is

Combining this with $y=2x+k$ gives

Thus the point of contact is

Using $BX^2=r^2$,

Hence $5r^2=(k+1)^2$, so $p=1$.

由几何关系，切点 $B$ 处半径与切线垂直，即圆心 $X$ 到切点 $B$ 的连线 $XB \perp AB$。 因此，三角形 $\triangle ABX$ 是一个以 $B$ 为直角的直角三角形。

• 直角边 $XB = r$ （圆的半径）
• 直角边 $AB = 2r$ （题目已知条件）
• 斜边为 $AX$

利用直角三角形的勾股定理（Pythagoras’ Theorem）：

根据第 (b) 问的结论，我们知道：

所以：

接着，我们可以求出点 $A$ 的坐标： 因为直线 $l$ 的方程是 $y = 2x + k$，点 $A$ 是直线与 $y$ 轴的交点，令 $x = 0$ 得到 $y = k$。 因此点 $A$ 的坐标为 $(0, k)$。

又已知圆心为 $X(3, 5)$。利用两点距离公式求出斜边平方 $AX^2$：

建立方程：

展开并解出 $k$ 的值即可。

Since the line $l$ is tangent to the circle $C$ at point $B$, the radius $XB$ is perpendicular to the tangent line at $B$. Thus, $\triangle ABX$ is a right-angled triangle with $\angle ABX = 90^\circ$.

Using Pythagoras’ theorem:

Given $XB = r$ and $AB = 2r$:

From part (b), we know $5r^2 = (k + 1)^2$. Therefore:

Point $A$ is the intersection of line $l: y = 2x + k$ with the $y$-axis, so its coordinates are:

The centre of the circle is $X(3, 5)$. Use the distance formula to express $AX^2$:

Equate Equation 1 and Equation 2:

Eliminate $k^2$ from both sides:

我们也可以用代数消元法来做。 因为 $l$ 与圆相切，根据 (a) 问的方程：

它是一个只有一个实根的二次方程，因此切点 $B$ 的 $x$ 坐标就是这个方程的重根：

由于 $B$ 落在直线 $y = 2x + k$ 上，其 $y$ 坐标为：

点 $A$ 的坐标为 $(0, k)$。利用距离公式写出 $AB^2$（即切线段长度的平方）：

简化后得到关于 $k$ 的表达式。 因为已知条件为 $AB = 2r \implies AB^2 = 4r^2$。 又从 (b) 问中已知 $r^2 = \frac{(k+1)^2}{5}$，我们可以将 $AB^2 = 4r^2$ 改写为：

两边联立并消去分母，可以解出 $k$。这种纯代数法不依赖几何直觉，也是一种非常标准的方法。

Since $B$ is the point of contact, its $x$-coordinate $x_B$ is the unique double root of the quadratic equation from (a):

Substitute $x_B$ into the line equation to find $y_B$:

The coordinates of $A$ are $(0, k)$. Calculate the squared distance $AB^2$:

Given $AB = 2r \implies AB^2 = 4r^2$. From part (b), we have $r^2 = \frac{(k + 1)^2}{5}$, so:

Equate the two expressions for $AB^2$:

Multiply by $5$ and take the square root of both sides:

Solve the two linear equations:

• Case A:

• Case B:

Thus, the value of $k$ is $2.75$.