题目

Problem

Figure 1 shows the graph of

$y = 1 - \log_{10} (\sin x) \quad 0 < x < \pi$

where $x$ is in radians.

The table below shows some values of $x$ and $y$ for this graph, with values of $y$ given to 3 decimal places.

$x$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$
$y$	$1.319$		$1.001$		$1.223$	$1.850$

(a) Complete the table above, giving values of $y$ to 3 decimal places.

(2)

(b) Use the trapezium rule with all the $y$ values in the completed table to find, to 2 decimal places, an estimate for

$\int_{0.5}^{3} \left( 1 - \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x$

(3)

$\int_{0.5}^{3} \left( 3 + \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x$

(3)

题目中文翻译

图 1 给出了函数图象： $y = 1 - \log_{10} (\sin x) \quad 0 < x < \pi$ 其中 $x$ 的单位是弧度。

下表给出了图象上的一些 $x$ 和 $y$ 的对应值（其中 $y$ 保留三位小数）：

$x$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$
$y$	$1.319$		$1.001$		$1.223$	$1.850$

(a) 补全上方表格，将 $y$ 的值保留三位小数。 (2)

(b) 利用梯形法则（使用已补全表格中的所有 $y$ 值），求出积分： $\int_{0.5}^{3} \left( 1 - \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x$ 的估算值，保留两位小数。 (3)

解答

(a)

解法一

思路

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这里我们需要代入 $x = 1$ 和 $x = 2$ 到函数表达式 $y = 1 - \log_{10} (\sin x)$ 中，利用计算器计算出对应的值。需要特别注意：计算器的角度模式必须设置为弧度（Radians），因为题目中明确指出 $x$ is in radians。

当 $x = 1$ 时： $y = 1 - \log_{10}(\sin 1)$
当 $x = 2$ 时： $y = 1 - \log_{10}(\sin 2)$

计算并四舍五入到 3 位小数。

答题过程

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Ensure the calculator is set to radians mode.

For $x = 1$ :
$\begin{align*} y =&\,\, 1 - \log_{10}(\sin 1) \\[2mm] \approx&\,\, 1 - \log_{10}(0.84147...) \\[2mm] \approx&\,\, 1 - (-0.07496...) \\[2mm] \approx&\,\, 1.075 \end{align*}$
For $x = 2$ :
$\begin{align*} y =&\,\, 1 - \log_{10}(\sin 2) \\[2mm] \approx&\,\, 1 - \log_{10}(0.90929...) \\[2mm] \approx&\,\, 1 - (-0.04129...) \\[2mm] \approx&\,\, 1.041 \end{align*}$

The completed table is:

$x$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$
$y$	$1.319$	$1.075$	$1.001$	$1.041$	$1.223$	$1.850$

(b)

解法一

思路

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利用梯形法则（Trapezium Rule）估算定积分：

\int_{a}^{b} y \, \mathrm{d}x \approx \frac{h}{2} \left[ y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1}) \right]

其中：

步长 $h = \frac{3 - 0.5}{5} = 0.5$ （或者通过相邻 $x$ 的差直接看出 $h = 0.5$ ）。
边界项 $y_0 = 1.319$ , $y_5 = 1.850$ 。
中间项 $y_1 = 1.075$ , $y_2 = 1.001$ , $y_3 = 1.041$ , $y_4 = 1.223$ 。

代入公式计算，最终保留 2 位小数。

答题过程

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The step width is $h = 0.5$ .

Applying the trapezium rule:

\begin{align*} I =&\,\, \int_{0.5}^{3} y \, \mathrm{d}x \\[4mm] \approx& \,\, \frac{h}{2} \Big[ y_0 + y_5 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) \Big] \\[4mm] =&\,\, \frac{0.5}{2} \Big[ 1.319 + 1.850 + 2(1.075 + 1.001 + 1.041 + 1.223) \Big] \\[4mm] =&\,\, 0.25 \Big[ 3.169 + 2(4.340) \Big] \\[4mm] =&\,\, 0.25 \Big[ 3.169 + 8.680 \Big] \\[4mm] =&\,\, 0.25 \times 11.849 \\[2mm] =&\,\, 2.96225 \\[2mm] \approx&\,\, 2.96 \end{align*}

Thus, the estimate for the integral is $2.96$ .

(c)

解法一：被积函数线性代数重组法

思路

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题目要求估算 $\int_{0.5}^{3} \left( 3 + \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x$ 且提示利用 (b) 问的结论。由于直接积分 $\log_{10}(\sin x)$ 极其困难，我们应当建立该被积函数与 (b) 中被积函数 $y = 1 - \log_{10}(\sin x)$ 之间的代数关系：

3 + \log_{10}(\sin x) = 4 - (1 - \log_{10}(\sin x))

这样，我们就可以利用积分的线性性质，把积分拆开：

\int_{0.5}^{3} \left( 3 + \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x = \int_{0.5}^{3} 4 \, \mathrm{d}x - \int_{0.5}^{3} \left( 1 - \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x

第一项是一个常数定积分，可以直接算出：

\int_{0.5}^{3} 4 \, \mathrm{d}x = [4x]_{0.5}^3 = 4 \times 3 - 4 \times 0.5 = 12 - 2 = 10

第二项就是 (b) 问估算出的积分值 $2.96$ 。代入即可轻松求出结果。

答题过程

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Observe the algebraic relationship between the two integrands:

3 + \log_{10}(\sin x) = 4 - \left( 1 - \log_{10}(\sin x) \right)

We can split the integral using this relationship:

\begin{align*} &\,\, \int_{0.5}^{3} \left( 3 + \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x \\[4mm] =&\,\, \int_{0.5}^{3} 4 \, \mathrm{d}x - \int_{0.5}^{3} \left( 1 - \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x \\[4mm] =&\,\, \Big[ 4x \Big]_{0.5}^{3} - \int_{0.5}^{3} \left( 1 - \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x \\[4mm] =&\,\, (4 \times 3 - 4 \times 0.5) - 2.96225... \\[2mm] =&\,\, 10 - 2.96225... \\[2mm] \approx&\,\, 7.04 \end{align*}

Therefore, the estimated value is $7.04$ (or $7.04$ follow-through on their value in part b).

解法二：对数积分部分项提取法

思路

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同样可以通过提取部分项来计算。由于：

1 - \log_{10}(\sin x) = y \implies \log_{10}(\sin x) = 1 - y

我们可以首先从 (b) 中提取出 $\log_{10}(\sin x)$ 这一部分的定积分值：

\int_{0.5}^{3} \log_{10}(\sin x) \, \mathrm{d}x = \int_{0.5}^{3} 1 \, \mathrm{d}x - \int_{0.5}^{3} y \, \mathrm{d}x

= [x]_{0.5}^3 - I_b = 2.5 - 2.96 = -0.46

然后再把这一部分代回 (c) 中的原式：

\int_{0.5}^{3} \left( 3 + \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x = \int_{0.5}^{3} 3 \, \mathrm{d}x + \int_{0.5}^{3} \log_{10}(\sin x) \, \mathrm{d}x

= [3x]_{0.5}^3 + (-0.46) = (9 - 1.5) - 0.46 = 7.5 - 0.46 = 7.04

这种方法也是完全正确且逻辑清晰的替代路线。

答题过程

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Rearrange the equation of the curve to express the log term:

\log_{10}(\sin x) = 1 - y

First, find the integral of $\log_{10}(\sin x)$ over the interval $[0.5, 3]$ :

\begin{align*} \int_{0.5}^{3} \log_{10}(\sin x) \, \mathrm{d}x =&\,\, \int_{0.5}^{3} 1 \, \mathrm{d}x - \int_{0.5}^{3} y \, \mathrm{d}x \\[4mm] =&\,\, \Big[ x \Big]_{0.5}^{3} - 2.96225... \\[2mm] =&\,\, (3 - 0.5) - 2.96225... \\[2mm] =&\,\, 2.5 - 2.96225... \\[2mm] =&\,\, -0.46225... \end{align*}

Now calculate the required integral:

\begin{align*} \int_{0.5}^{3} \left( 3 + \log_{10} (\sin x) \right) \, \mathrm{d}x =&\,\, \int_{0.5}^{3} 3 \, \mathrm{d}x + \int_{0.5}^{3} \log_{10}(\sin x) \, \mathrm{d}x \\[4mm] =&\,\, \Big[ 3x \Big]_{0.5}^{3} + (-0.46225...) \\[2mm] =&\,\, (3 \times 3 - 3 \times 0.5) - 0.46225... \\[2mm] =&\,\, 7.5 - 0.46225... \\[2mm] =&\,\, 7.03775... \\[2mm] \approx&\,\, 7.04 \end{align*}

IAL 2022 May Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一：被积函数线性代数重组法

思路

答题过程

解法二：对数积分部分项提取法

思路

答题过程