题目

Problem

Figure 1 shows the graph of

y = 1 - \log_{10} (\sin x) \quad 0 < x < \pi

where $x$ is in radians.

The table below shows some values of $x$ and $y$ for this graph, with values of $y$ given to 3 decimal places.

$x$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$
$y$	$1.319$		$1.001$		$1.223$	$1.850$

(a) Complete the table above, giving values of $y$ to 3 decimal places.

(2)

(b) Use the trapezium rule with all the $y$ values in the completed table to find, to 2 decimal places, an estimate for

\int_{0.5}^{3} \Big( 1 - \log_{10} (\sin x) \Big) \, \mathrm{d}x

(3)

\int_{0.5}^{3} \Big( 3 + \log_{10} (\sin x) \Big) \, \mathrm{d}x

(3)

题目中文翻译

图 1 给出了函数图象：

y = 1 - \log_{10} (\sin x) \quad 0 < x < \pi

其中 $x$ 的单位是弧度。

下表给出了图象上的一些 $x$ 和 $y$ 的对应值（其中 $y$ 保留三位小数）：

$x$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$
$y$	$1.319$		$1.001$		$1.223$	$1.850$

(a) 补全上方表格，将 $y$ 的值保留三位小数。 (2)

(b) 利用梯形法则（使用已补全表格中的所有 $y$ 值），求出积分：

\int_{0.5}^{3} \Big( 1 - \log_{10} (\sin x) \Big) \, \mathrm{d}x

的估算值，保留两位小数。 (3)

\int_{0.5}^{3} \Big( 3 + \log_{10} (\sin x) \Big) \, \mathrm{d}x

的估算值。 (3)

解答

(a)

解法一

思路

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这里我们需要代入 $x = 1$ 和 $x = 2$ 到函数表达式 $y = 1 - \log_{10} (\sin x)$ 中，利用计算器计算出对应的值。需要特别注意：计算器的角度模式必须设置为弧度（Radians），因为题目中明确指出 $x$ is in radians。

当 $x = 1$ 时：

y = 1 - \log_{10}(\sin 1)

当 $x = 2$ 时：

y = 1 - \log_{10}(\sin 2)

计算并四舍五入到 3 位小数。

答题过程

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Ensure the calculator is set to radians mode.

For $x = 1$ :

\begin{align*} y =&\, 1 - \log_{10}(\sin 1) \\ \approx&\, 1 - \log_{10}(0.84147\ldots) \\ \approx&\, 1 - (-0.07496\ldots) \\ \approx&\, 1.075 \end{align*}

For $x = 2$ :

\begin{align*} y =&\, 1 - \log_{10}(\sin 2) \\ \approx&\, 1 - \log_{10}(0.90929\ldots) \\ \approx&\, 1 - (-0.04129\ldots) \\ \approx&\, 1.041 \end{align*}

The completed table is:

$x$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$
$y$	$1.319$	$1.075$	$1.001$	$1.041$	$1.223$	$1.850$

(b)

解法一

思路

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利用梯形法则（Trapezium Rule）估算定积分：

\begin{align*} \int_a^b y\,\mathrm{d}x\approx&\,\frac h2\Big[y_0+y_n\\ &\,\hspace{2pt}+2(y_1+\cdots+y_{n-1})\Big]. \end{align*}

其中：

步长 $h = \frac{3 - 0.5}{5} = 0.5$ （或者通过相邻 $x$ 的差直接看出 $h = 0.5$ ）。
边界项 $y_0 = 1.319$ , $y_5 = 1.850$ 。
中间项 $y_1 = 1.075$ , $y_2 = 1.001$ , $y_3 = 1.041$ , $y_4 = 1.223$ 。

代入公式计算，最终保留 2 位小数。

答题过程

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The step width is $h = 0.5$ .

Applying the trapezium rule:

\begin{align*} I =&\, \int_{0.5}^{3} y \, \mathrm{d}x \\ \approx& \, \frac{h}{2} \Big[ y_0 + y_5 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) \Big] \\ =&\, \frac{0.5}{2}\Big[1.319+1.850\\ &\,\hspace{2pt}+2(1.075+1.001+1.041+1.223)\Big]\\ =&\, 0.25 \Big[ 3.169 + 2(4.340) \Big] \\ =&\, 0.25 \Big[ 3.169 + 8.680 \Big] \\ =&\, 0.25 \times 11.849 \\ =&\, 2.96225 \\ \approx&\, 2.96 \end{align*}

Thus, the estimate for the integral is $2.96$ .

(c)

解法一：改写为 $4-y$

思路

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利用 $3+\log_{10}(\sin x)=4-y$ ，将常数部分精确积分，再减去 (b) 的估计值 $2.96$ 。

答题过程

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Since $y=1-\log_{10}(\sin x)$ ,

3+\log_{10}(\sin x)=4-y.

Hence

\begin{align*} &\,\int_{0.5}^{3}\big(3+\log_{10}(\sin x)\big)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\int_{0.5}^{3}4\,\mathrm{d}x-\int_{0.5}^{3}y\,\mathrm{d}x\\ \approx&\,4(3-0.5)-2.96\\ =&\,7.04. \end{align*}

解法二：先求对数项的积分

思路

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由 $\log_{10}(\sin x)=1-y$ ，先估计对数项的积分，再加上常数 $3$ 的积分。

答题过程

展开

Using the estimate from (b),

\begin{align*} \int_{0.5}^{3}\log_{10}(\sin x)\,\mathrm{d}x =&\,\int_{0.5}^{3}(1-y)\,\mathrm{d}x\\ \approx&\,(3-0.5)-2.96\\ =&\,-0.46. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} &\,\int_{0.5}^{3}\big(3+\log_{10}(\sin x)\big)\,\mathrm{d}x\\ \approx&\,3(3-0.5)-0.46\\ =&\,7.04. \end{align*}

P2 2022 May Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一：改写为 4−y4-y4−y

思路

答题过程

解法二：先求对数项的积分

思路

答题过程

解法一：改写为 $4-y$