在本题中，你必须展示所有的计算步骤。给出完全化简的根式（最简二次根式）形式的答案。

已知 $a$ 和 $b$ 为正数，解联立方程组： $a - b = 8$ $\log_4 a + \log_4 b = 3$

解关于正数 $a$ 和 $b$ 的对数联立方程组，我们可以采取以下步骤：

1. 化简对数方程： 利用对数的相加积律（Multiplication Law of Logarithms）： $\log_4 a + \log_4 b = \log_4 (ab)$ 由此可将方程化为： $\log_4 (ab) = 3$ 利用对数的定义脱去对数符号（Undo logs）： $ab = 4^3 = 64$

2. 代入消元： 从第一个方程 $a - b = 8$ 得到： $a = b + 8$ 代入上面得到的乘积式 $ab = 64$ 中： $(b + 8)b = 64 \implies b^2 + 8b - 64 = 0$

3. 解一元二次方程： 利用求根公式求出 $b$： $b = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-64)}}{2}$ 由于题目指出 $a$ 和 $b$ 是正数（Positive constants），我们必须舍去负数解，只保留正数解。

4. 求解另一变量： 将求出的正值 $b$ 代回 $a = b + 8$ 中算出 $a$。最终用最简根式（Fully simplified surd form）表达两者的值。

Apply the multiplication law of logarithms to the second equation:

$\log_4 (ab) = 3$

Remove the logarithms by converting to exponential form:

$ab = 4^3 = 64$

From the first equation, express $a$ in terms of $b$:

$a = b + 8$

Substitute $a = b + 8$ into the equation $ab = 64$:

$(b + 8)b = 64 \implies b^2 + 8b - 64 = 0$

Solve this quadratic equation using the quadratic formula:

Since $b$ must be a positive constant ($b > 0$), we reject the negative root:

$b = 4\sqrt{5} - 4$

Now substitute $b$ back to find $a$:

Verify that $a > 0$:

$4\sqrt{5} + 4 > 0 \quad \text{(which is true)}$

Thus, the solutions are:

$a = 4\sqrt{5} + 4 \quad \text{and} \quad b = 4\sqrt{5} - 4$