在本题中，你必须展示所有的计算步骤。纯依赖计算器计算的解法是不可接受的。

在区间 $-180^\circ < \theta \leqslant 180^\circ$ 内，解方程： $3 \tan(\theta + 43^\circ) = 2 \cos(\theta + 43^\circ)$

为方便解题，我们可以引入一个中间变量代换：令 $x = \theta + 43^\circ$。 原方程化为： $3 \tan x = 2 \cos x$

1. 将正切化为正弦与余弦： 利用商数恒等式（Trigonometric Identity） $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$： $3 \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \cos x \implies 3 \sin x = 2 \cos^2 x \quad (\text{当 } \cos x \neq 0)$

2. 化为一元二次方程： 利用平方关系恒等式 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，将方程统一用正弦 $\sin x$ 表达： $3 \sin x = 2 (1 - \sin^2 x) \implies 2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$

3. 因式分解求根： 将上述一元二次方程因式分解： $(2 \sin x - 1)(\sin x + 2) = 0$

   • 因为对于任意实数 $x$，正弦值的范围是 $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$，因此 $\sin x + 2 \neq 0$（无解）。
   • 于是我们得到唯一合理的解：$\sin x = \frac{1}{2}$。

4. 变换区间并求解： 原自变量 $\theta$ 的范围是 $-180^\circ < \theta \leqslant 180^\circ$。 由于 $x = \theta + 43^\circ$，因此对应 $x$ 的取值范围为： $-180^\circ + 43^\circ < x \leqslant 180^\circ + 43^\circ \implies -137^\circ < x \leqslant 223^\circ$ 在区间 $(-137^\circ, 223^\circ]$ 内，寻找满足 $\sin x = \frac{1}{2}$ 的所有 $x$ 的解： $x = 30^\circ \quad \text{或} \quad x = 150^\circ$

5. 求出最终自变量 $\theta$： 由 $\theta = x - 43^\circ$ 还原算出最终答案。

Let $x = \theta + 43^\circ$. The equation becomes:

$3 \tan x = 2 \cos x$

Using the identity $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$3 \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right) = 2 \cos x$

Multiply both sides by $\cos x$ (noting that $\cos x \neq 0$):

$3 \sin x = 2 \cos^2 x$

Substitute $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ into the equation:

$3 \sin x = 2 \left( 1 - \sin^2 x \right)$

$3 \sin x = 2 - 2 \sin^2 x$

Rearrange to form a quadratic equation in $\sin x$:

$2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$

Factorize the quadratic equation:

$(2 \sin x - 1)(\sin x + 2) = 0$

Since $\sin x \in [-1, 1]$, the factor $\sin x + 2 = 0$ has no real solutions.

Thus:

$2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$

Now determine the range for $x$ based on $-180^\circ < \theta \leqslant 180^\circ$:

Solve $\sin x = \frac{1}{2}$ for $x$ in the interval $(-137^\circ, 223^\circ]$:

$x = 30^\circ \quad \text{or} \quad x = 150^\circ$

Substitute back $\theta = x - 43^\circ$ to find the values of $\theta$:

• For $x = 30^\circ$: $\theta = 30^\circ - 43^\circ = -13^\circ$

• For $x = 150^\circ$: $\theta = 150^\circ - 43^\circ = 107^\circ$

Since both values fall inside the interval $-180^\circ < \theta \leqslant 180^\circ$, the required solutions are:

$\theta = -13^\circ \quad \text{and} \quad \theta = 107^\circ$