在本题中，你必须展示所有的计算步骤。纯依赖计算器计算的解法是不可接受的。

在区间 $-180^\circ < \theta \leqslant 180^\circ$ 内，解方程：

为方便解题，我们可以引入一个中间变量代换：令 $x = \theta + 43^\circ$。 原方程化为：

1. 将正切化为正弦与余弦： 利用商数恒等式（Trigonometric Identity） $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$：

2. 化为一元二次方程： 利用平方关系恒等式 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，将方程统一用正弦 $\sin x$ 表达：

3. 因式分解求根： 将上述一元二次方程因式分解：

• 因为对于任意实数 $x$，正弦值的范围是 $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$，因此 $\sin x + 2 \neq 0$（无解）。
• 于是我们得到唯一合理的解：$\sin x = \frac{1}{2}$。

4. 变换区间并求解： 原自变量 $\theta$ 的范围是 $-180^\circ < \theta \leqslant 180^\circ$。 由于 $x = \theta + 43^\circ$，因此对应 $x$ 的取值范围为：

在区间 $(-137^\circ, 223^\circ]$ 内，寻找满足 $\sin x = \frac{1}{2}$ 的所有 $x$ 的解：

5. 求出最终自变量 $\theta$： 由 $\theta = x - 43^\circ$ 还原算出最终答案。

Let $x = \theta + 43^\circ$. The equation becomes:

Using the identity $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

Multiply both sides by $\cos x$ (noting that $\cos x \neq 0$):

Substitute $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ into the equation:

Rearrange to form a quadratic equation in $\sin x$:

Factorize the quadratic equation:

Since $\sin x \in [-1, 1]$, the factor $\sin x + 2 = 0$ has no real solutions.

Thus:

Now determine the range for $x$ based on $-180^\circ < \theta \leqslant 180^\circ$:

Solve $\sin x = \frac{1}{2}$ for $x$ in the interval $(-137^\circ, 223^\circ]$:

Substitute back $\theta = x - 43^\circ$ to find the values of $\theta$:

• For $x = 30^\circ$:

• For $x = 150^\circ$:

Since both values fall inside the interval $-180^\circ < \theta \leqslant 180^\circ$, the required solutions are: