在一个等比数列 $u_1, u_2, u_3, \dots$ 中：

• 公比为 $r$
• $u_2 + u_3 = 6$
• $u_4 = 8$

(a) 证明公比 $r$ 满足方程： $3r^2 - 4r - 4 = 0$ (3)

已知该等比数列具有无穷项和（收敛于一个和），

(b) 求首项 $u_1$ 的值。 (3)

(c) 求该数列的无穷项和 $S_\infty$。 (2)

首先，利用等比数列的通项公式 $u_n = u_1 r^{n-1}$（设首项 $u_1 = a$）：

• 第二项为 $u_2 = ar$
• 第三项为 $u_3 = ar^2$
• 第四项为 $u_4 = ar^3$

根据已知条件写出联立方程组：

1. $ar + ar^2 = 6 \implies ar(1 + r) = 6$
2. $ar^3 = 8$

为了消去首项 $a$，我们可以将方程 (2) 除以方程 (1)：

化简左侧分数（约去首项 $a$ 和一个 $r$）：

去分母（两边同乘以 $3(1 + r)$）：

移项整理，即可得到要证明的目标二次方程：

Let the first term of the geometric sequence be $u_1 = a$.

Using the general term formula $u_n = a r^{n-1}$, we write the terms as:

• $u_2 = ar$
• $u_3 = ar^2$
• $u_4 = ar^3$

From the given conditions:

$ar + ar^2 = 6 \implies ar(1 + r) = 6 \quad \text{--- (Equation 1)}$ $ar^3 = 8 \quad \text{--- (Equation 2)}$

Divide Equation 2 by Equation 1 to eliminate $a$:

$\frac{ar^3}{ar(1 + r)} = \frac{8}{6}$

Simplify the fraction:

$\frac{r^2}{1 + r} = \frac{4}{3}$

Cross-multiply:

$3r^2 = 4(1 + r)$ $3r^2 = 4r + 4$

Rearrange terms to one side:

$3r^2 - 4r - 4 = 0$

我们也可以采用代入消元法。从方程 (2) $ar^3 = 8$ 中，我们可以将首项 $a$ 表示为关于 $r$ 的函数：

然后将这一关系式代入方程 (1) $a(r + r^2) = 6$ 中：

同乘分母 $r^2$：

同除以 $2$ 并移项整理：

该方法同样能严谨地推导出目标方程。

From the expression for $u_4$:

$ar^3 = 8 \implies a = \frac{8}{r^3}$

Substitute this expression for $a$ into the equation $u_2 + u_3 = 6$:

$\left( \frac{8}{r^3} \right)r + \left( \frac{8}{r^3} \right)r^2 = 6$

$\frac{8}{r^2} + \frac{8}{r} = 6$

Multiply the entire equation by $r^2$ (given $r \neq 0$):

$8 + 8r = 6r^2$

Rearrange the equation:

$6r^2 - 8r - 8 = 0$

Divide the entire equation by $2$:

$3r^2 - 4r - 4 = 0$

1. 解公比 $r$： 解上一问中关于 $r$ 的二次方程： $3r^2 - 4r - 4 = 0 \implies (3r + 2)(r - 2) = 0$ 由此解得两个可能的公比值： $r = -\frac{2}{3} \quad \text{或} \quad r = 2$

2. 筛选公比 $r$： 题目中给出一个关键条件：“the geometric sequence has a sum to infinity”，这表明等比数列收敛，具有无穷项和。 根据无穷等比数列收敛的充要条件：公比的绝对值必须小于 $1$，即 $|r| < 1$。

   • 因此，我们必须舍去 $r = 2$。
   • 保留唯一合法的公比 $r = -\frac{2}{3}$。

3. 求首项 $u_1$： 将 $r = -\frac{2}{3}$ 代回已建立的方程中（例如 $u_4 = u_1 r^3 = 8$）： $u_1 \left( -\frac{2}{3} \right)^3 = 8 \implies u_1 \left( -\frac{8}{27} \right) = 8 \implies u_1 = -27$

First, solve the quadratic equation $3r^2 - 4r - 4 = 0$ for $r$:

$(3r + 2)(r - 2) = 0 \implies r = -\frac{2}{3} \quad \text{or} \quad r = 2$

Since the sequence has a sum to infinity, the common ratio must satisfy $|r| < 1$. Therefore, we reject $r = 2$, leaving:

$r = -\frac{2}{3}$

Now, substitute $r = -\frac{2}{3}$ into the equation for $u_4$ to find the first term $u_1$:

$u_1 r^3 = 8$

$u_1 \left( -\frac{2}{3} \right)^3 = 8$

$u_1 \left( -\frac{8}{27} \right) = 8$

Multiply both sides by $-\frac{27}{8}$:

$u_1 = 8 \times \left( -\frac{27}{8} \right) = -27$

无穷等比数列求和公式为：

其中，首项 $a = u_1 = -27$，公比 $r = -\frac{2}{3}$。 代入公式进行计算并化简：

写成最简分数或小数均可。

The formula for the sum to infinity of a geometric sequence is:

$S_\infty = \frac{u_1}{1 - r}$

Substitute $u_1 = -27$ and $r = -\frac{2}{3}$ into the formula: