已知多项式：

其中 $A$ 和 $B$ 是常数。

已知：

• $(x + 2)$ 是 $f(x)$ 的一个因式
• $\displaystyle\int_{3}^{5} f(x) \, \mathrm{d}x = 176$

求 $A$ 的值和 $B$ 的值。 (7)

我们要确定两个未知常数 $A$ 和 $B$，需要根据已知条件列出两个独立的方程进行联立求解：

1. 利用因式定理（Factor Theorem）： 因为 $(x + 2)$ 是 $f(x)$ 的一个因式，所以当 $x = -2$ 时，函数值必须为 $0$，即 $f(-2) = 0$。

由此可得关于 $A$ 和 $B$ 的第一个线性方程。

2. 利用定积分条件： 计算 $f(x)$ 在区间 $[3, 5]$ 上的定积分。根据不定积分公式：

将上限 $5$ 和下限 $3$ 分别代入，并相减，令其等于 $176$。 这将给出关于 $A$ 和 $B$ 的第二个线性方程。

3. 联立求解方程组： 解这个二元一次方程组，求出常数 $A$ 和 $B$。

Step 1: Apply the factor theorem

Since $(x + 2)$ is a factor of $f(x)$, we have $f(-2) = 0$:

Step 2: Integrate $f(x)$ from $3$ to $5$

Perform the integration term-by-term:

Substitute the upper limit $5$ and the lower limit $3$:

• At $x = 5$:

• At $x = 3$:

Subtract the lower limit evaluation from the upper limit evaluation:

Equate the result to the given value of $176$:

Divide Equation 2 by $2$ to simplify:

Step 3: Solve the simultaneous equations

Substitute Equation 1 ($B = 8A - 32$) into Equation 3:

Now substitute $A = 0.5$ back into Equation 1 to find $B$:

Therefore, the constants are:

把 $f(x)$ 除以 $x+2$，余式必须为零。所得 $A,B$ 关系与因式定理相同，再承接定积分方程联立求解。

Dividing by $x+2$ gives quotient

Indeed,

Since $x+2$ is a factor, the remainder is zero:

From the same definite integral calculation as in 解法一,

Substituting $B=8A-32$ gives