已知多项式： $f(x) = Ax^3 + 6x^2 - 4x + B$ 其中 $A$ 和 $B$ 是常数。

已知：

• $(x + 2)$ 是 $f(x)$ 的一个因式
• $\displaystyle\int_{3}^{5} f(x) \, \mathrm{d}x = 176$

求 $A$ 的值和 $B$ 的值。 (7)

我们要确定两个未知常数 $A$ 和 $B$，需要根据已知条件列出两个独立的方程进行联立求解：

1. 利用因式定理（Factor Theorem）： 因为 $(x + 2)$ 是 $f(x)$ 的一个因式，所以当 $x = -2$ 时，函数值必须为 $0$，即 $f(-2) = 0$。 $f(-2) = A(-2)^3 + 6(-2)^2 - 4(-2) + B = 0$ 由此可得关于 $A$ 和 $B$ 的第一个线性方程。

2. 利用定积分条件： 计算 $f(x)$ 在区间 $[3, 5]$ 上的定积分。根据不定积分公式： $\int (Ax^3 + 6x^2 - 4x + B) \, \mathrm{d}x = \frac{A}{4}x^4 + 2x^3 - 2x^2 + Bx + c$ 将上限 $5$ 和下限 $3$ 分别代入，并相减，令其等于 $176$。 这将给出关于 $A$ 和 $B$ 的第二个线性方程。

3. 联立求解方程组： 解这个二元一次方程组，求出常数 $A$ 和 $B$。

Step 1: Apply the factor theorem

Since $(x + 2)$ is a factor of $f(x)$, we have $f(-2) = 0$:

$A(-2)^3 + 6(-2)^2 - 4(-2) + B = 0$ $-8A + 6(4) + 8 + B = 0$ $-8A + 24 + 8 + B = 0$ $-8A + B + 32 = 0 \implies B = 8A - 32 \quad \text{--- (Equation 1)}$

Step 2: Integrate $f(x)$ from $3$ to $5$

Perform the integration term-by-term:

Substitute the upper limit $5$ and the lower limit $3$:

• At $x = 5$:

  $$\begin{align*} \frac{A}{4}(5)^4 + 2(5)^3 - 2(5)^2 + B(5) =&\,\, \frac{625}{4}A + 2(125) - 2(25) + 5B \\[2mm] =&\,\, 156.25A + 250 - 50 + 5B \\[2mm] =&\,\, 156.25A + 200 + 5B \end{align*}$$

• At $x = 3$:

  $$\begin{align*} \frac{A}{4}(3)^4 + 2(3)^3 - 2(3)^2 + B(3) =&\,\, \frac{81}{4}A + 2(27) - 2(9) + 3B \\[2mm] =&\,\, 20.25A + 54 - 18 + 3B \\[2mm] =&\,\, 20.25A + 36 + 3B \end{align*}$$

Subtract the lower limit evaluation from the upper limit evaluation:

Equate the result to the given value of $176$:

$136A + 164 + 2B = 176 \implies 136A + 2B = 12 \quad \text{--- (Equation 2)}$

Divide Equation 2 by $2$ to simplify:

$68A + B = 6 \quad \text{--- (Equation 3)}$

Step 3: Solve the simultaneous equations

Substitute Equation 1 ($B = 8A - 32$) into Equation 3:

$68A + (8A - 32) = 6$ $76A - 32 = 6$ $76A = 38$ $A = \frac{38}{76} = 0.5$

Now substitute $A = 0.5$ back into Equation 1 to find $B$:

$B = 8(0.5) - 32 = 4 - 32 = -28$

Therefore, the constants are:

$A = 0.5 \quad \text{and} \quad B = -28$