在本题中，你必须展示所有的计算步骤。纯依赖计算器技术求解的方案是不可接受的。

一条曲线的方程为： $y = 256x^4 - 304x - 35 + \frac{27}{x^2} \quad x \neq 0$

(a) 求导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。 (3)

(b) 由此求出该曲线所有驻点（Stationary points）的坐标。 (5)

为了求导，我们首先需要将曲线方程中的分式项写成指数幂的形式： $\frac{27}{x^2} = 27x^{-2}$ 因此曲线方程可以重写为： $y = 256x^4 - 304x - 35 + 27x^{-2}$

根据导数法则：

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n) = nx^{n-1}$
• 对于常数项，其导数为 $0$

逐项对 $y$ 求导即可。

Rewrite the curve equation by expressing the last term as a power of $x$:

$y = 256x^4 - 304x - 35 + 27x^{-2}$

Differentiate with respect to $x$ term-by-term:

1. 设定驻点条件： 在驻点处，曲线的斜率为 $0$，即令导数等于 $0$： $1024x^3 - 304 - \frac{54}{x^3} = 0$

2. 化简方程为多项式形式： 在方程两边同乘以 $x^3$ （因为 $x \neq 0$）： $1024(x^3)^2 - 304(x^3) - 54 = 0$ 同除以公约数 $2$ 以简化方程： $512(x^3)^2 - 152(x^3) - 27 = 0$

3. 利用换元法解关于 $x^3$ 的方程： 令 $u = x^3$，上面的方程可写作一个关于 $u$ 的一元二次方程： $512u^2 - 152u - 27 = 0$ 将此方程因式分解或利用求根公式求出 $u$ 的两个根： $(8u + 1)(64u - 27) = 0 \implies u = -\frac{1}{8} \quad \text{或} \quad u = \frac{27}{64}$

4. 求出自变量 $x$ 的值： 由于 $u = x^3$，对两个根分别进行开立方根（Cube root）计算：

   • 若 $x^3 = -\frac{1}{8} \implies x = -\frac{1}{2}$
   • 若 $x^3 = \frac{27}{64} \implies x = \frac{3}{4}$

5. 代回原曲线方程求解 $y$ 坐标：

   • 将 $x = -\frac{1}{2}$ 代入原曲线方程中计算 $y$。
   • 将 $x = \frac{3}{4}$ 代入原曲线方程中计算 $y$。 最终写出所有驻点坐标。

At the stationary points, the gradient is zero:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \implies 1024x^3 - 304 - \frac{54}{x^3} = 0$

Since $x \neq 0$, multiply the entire equation by $x^3$:

$1024(x^3)^2 - 304(x^3) - 54 = 0$

Divide by $2$:

$512(x^3)^2 - 152(x^3) - 27 = 0$

Let $u = x^3$. The equation becomes:

$512u^2 - 152u - 27 = 0$

Factorize the quadratic expression:

$(8u + 1)(64u - 27) = 0$

This gives two possible values for $u$:

$u = -\frac{1}{8} \quad \text{or} \quad u = \frac{27}{64}$

Substitute back $u = x^3$ and take the cube root:

• Case 1: $x^3 = -\frac{1}{8} \implies x = -\frac{1}{2}$

• Case 2: $x^3 = \frac{27}{64} \implies x = \frac{3}{4}$

Now, find the corresponding $y$-coordinates by substituting $x$ back into the original curve equation:

• For $x = -\frac{1}{2}$:

  $$\begin{align*} y =&\,\, 256\left(-\frac{1}{2}\right)^4 - 304\left(-\frac{1}{2}\right) - 35 + \frac{27}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2} \\[4mm] =&\,\, 256\left(\frac{1}{16}\right) + 152 - 35 + \frac{27}{\frac{1}{4}} \\[4mm] =&\,\, 16 + 152 - 35 + 108 \\[2mm] =&\,\, 241 \end{align*}$$

• For $x = \frac{3}{4}$:

  $$\begin{align*} y =&\,\, 256\left(\frac{3}{4}\right)^4 - 304\left(\frac{3}{4}\right) - 35 + \frac{27}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} \\[4mm] =&\,\, 256\left(\frac{81}{256}\right) - 228 - 35 + \frac{27}{\frac{9}{16}} \\[4mm] =&\,\, 81 - 228 - 35 + 27 \times \frac{16}{9} \\[4mm] =&\,\, 81 - 228 - 35 + 48 \\[2mm] =&\,\, -134 \end{align*}$$

The coordinates of the stationary points are:

$\left( -\frac{1}{2}, 241 \right) \quad \text{and} \quad \left( \frac{3}{4}, -134 \right)$