在本题中，你必须展示所有的计算步骤。纯依赖计算器技术求解的方案是不可接受的。

一条曲线的方程为：

(a) 求导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。 (3)

(b) 由此求出该曲线所有驻点（Stationary points）的坐标。 (5)

为了求导，我们首先需要将曲线方程中的分式项写成指数幂的形式：

因此曲线方程可以重写为：

根据导数法则：

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n) = nx^{n-1}$
• 对于常数项，其导数为 $0$

逐项对 $y$ 求导即可。

Rewrite the curve equation by expressing the last term as a power of $x$:

Differentiate with respect to $x$ term-by-term:

1. 设定驻点条件： 在驻点处，曲线的斜率为 $0$，即令导数等于 $0$：

2. 化简方程为多项式形式： 在方程两边同乘以 $x^3$ （因为 $x \neq 0$）：

同除以公约数 $2$ 以简化方程：

3. 利用换元法解关于 $x^3$ 的方程： 令 $u = x^3$，上面的方程可写作一个关于 $u$ 的一元二次方程：

将此方程因式分解或利用求根公式求出 $u$ 的两个根：

4. 求出自变量 $x$ 的值： 由于 $u = x^3$，对两个根分别进行开立方根（Cube root）计算：

   • 若 $x^3 = -\frac{1}{8} \implies x = -\frac{1}{2}$
   • 若 $x^3 = \frac{27}{64} \implies x = \frac{3}{4}$

5. 代回原曲线方程求解 $y$ 坐标：

   • 将 $x = -\frac{1}{2}$ 代入原曲线方程中计算 $y$。
   • 将 $x = \frac{3}{4}$ 代入原曲线方程中计算 $y$。 最终写出所有驻点坐标。

At the stationary points, the gradient is zero:

Since $x \neq 0$, multiply the entire equation by $x^3$:

Divide by $2$:

Let $u = x^3$. The equation becomes:

Factorize the quadratic expression:

This gives two possible values for $u$:

Substitute back $u = x^3$ and take the cube root:

• Case 1:

• Case 2:

Now, find the corresponding $y$-coordinates by substituting $x$ back into the original curve equation:

• For $x = -\frac{1}{2}$:

• For $x = \frac{3}{4}$:

The coordinates of the stationary points are: