题目

Problem

Given $a = \log_2 3$

(i) write, in simplest form, in terms of $a$ ,

(a) $\log_2 9$

(b) $\log_2\left(\dfrac{3}{16}\right)$

(3)

(ii) Solve

$3^x \times 2^{x + 4} = 6$

giving your answer, in simplest form, in terms of $a$ .

(4)

解答

(i)

解法一

思路

展开

这里我们需要使用对数的运算法则（Laws of logarithms）将表达式展开：

对数的乘方律： $\log_b (X^k) = k \log_b X$
对数的相除商律： $\log_b \left(\dfrac{X}{Y}\right) = \log_b X - \log_b Y$

(a) 将 9 写为幂的形式： $9 = 3^2$ 。

\log_2 9 = \log_2 (3^2) = 2\log_2 3

代入已知条件 $a = \log_2 3$ 即可。

(b) 使用商的运算法则展开：

\log_2\left(\frac{3}{16}\right) = \log_2 3 - \log_2 16

因为 $16 = 2^4$ ，所以 $\log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4$ 。代入 $a$ 即可。

答题过程

展开

(a) Since $9 = 3^2$ :

\begin{align*} \log_2 9 =&\,\, \log_2 (3^2) \\[2mm] =&\,\, 2\log_2 3 \\[2mm] =&\,\, 2a \end{align*}

(b) Using the division law of logarithms:

\begin{align*} \log_2\left(\frac{3}{16}\right) =&\,\, \log_2 3 - \log_2 16 \\[2mm] =&\,\, a - \log_2 (2^4) \\[2mm] =&\,\, a - 4 \end{align*}

(ii)

解法一：取以 2 为底的对数

思路

展开

我们需要求解指数方程 $3^x \times 2^{x + 4} = 6$ ，最终答案需用 $a$ 表达。两边同时取以 2 为底的对数：

\log_2 \left(3^x \times 2^{x+4}\right) = \log_2 6

利用对数的相乘积律展开左边，相乘商律展开右边：

\log_2 (3^x) + \log_2 (2^{x+4}) = \log_2 (3 \times 2)

x\log_2 3 + (x+4)\log_2 2 = \log_2 3 + \log_2 2

代入已知值 $\log_2 3 = a$ 和 $\log_2 2 = 1$ ：

x \cdot a + (x + 4) \cdot 1 = a + 1

整理方程并解出 $x$ ：

ax + x + 4 = a + 1 \implies x(a + 1) = a - 3 \implies x = \frac{a - 3}{a + 1}

答题过程

展开

Take logarithms to base $2$ on both sides of the equation:

\log_2 \left( 3^x \times 2^{x+4} \right) = \log_2 6

Applying the multiplication law of logarithms to expand the left-hand side:

\log_2 (3^x) + \log_2 (2^{x+4}) = \log_2 (3 \times 2)

Using the power law of logarithms and the identity $\log_2 2 = 1$ :

x\log_2 3 + (x + 4)\log_2 2 = \log_2 3 + \log_2 2

Substitute $a = \log_2 3$ into the equation:

x \cdot a + (x + 4) \cdot 1 = a + 1

Expand and gather terms in $x$ :

\begin{align*} ax + x + 4 =&\,\, a + 1 \\[2mm] x(a + 1) =&\,\, a + 1 - 4 \\[2mm] x(a + 1) =&\,\, a - 3 \\[2mm] x =&\,\, \frac{a - 3}{a + 1} \end{align*}

解法二：底数替换法（利用 $3 = 2^a$ ）

思路

展开

由 $a = \log_2 3$ 我们可以写出其指数形式：

3 = 2^a

将 $3 = 2^a$ 直接代入原指数方程中：

\left(2^a\right)^x \times 2^{x+4} = 6

2^{ax} \times 2^{x+4} = 6 \implies 2^{ax + x + 4} = 6

两边取 $\log_2$ 得到：

ax + x + 4 = \log_2 6 = \log_2 3 + \log_2 2 = a + 1

收集含 $x$ 项并求解。

答题过程

展开

Since $a = \log_2 3$ , we have the equivalent exponential form:

3 = 2^a

Substitute this expression for $3$ into the original equation:

\begin{align*} \left(2^a\right)^x \times 2^{x+4} =&\,\, 6 \\[2mm] 2^{ax} \times 2^{x+4} =&\,\, 6 \\[2mm] 2^{ax + x + 4} =&\,\, 6 \end{align*}

Taking logarithms to base $2$ on both sides:

\begin{align*} ax + x + 4 =&\,\, \log_2 6 \\[2mm] ax + x + 4 =&\,\, \log_2 3 + \log_2 2 \\[2mm] ax + x + 4 =&\,\, a + 1 \\[2mm] x(a + 1) =&\,\, a + 1 - 4 \\[2mm] x(a + 1) =&\,\, a - 3 \\[2mm] x =&\,\, \frac{a - 3}{a + 1} \end{align*}

IAL 2022 Oct Q10

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一：取以 2 为底的对数

思路

答题过程

解法二：底数替换法（利用 3=2a3 = 2^a3=2a）

思路

答题过程

解法二：底数替换法（利用 $3 = 2^a$ ）