题目

Problem

Given $a = \log_2 3$

(i) write, in simplest form, in terms of $a$ ,

(a) $\log_2 9$

(b) $\log_2\Big(\dfrac{\sqrt3}{16}\Big)$

(3)

(ii) Solve

3^x \times 2^{x + 4} = 6

giving your answer, in simplest form, in terms of $a$ .

(4)

题目中文翻译

已知 $a=\log_2 3$ 。

(i) 用 $a$ 表示下列各式，并化为最简形式：

(a) $\log_2 9$

(b) $\log_2\Big(\dfrac{\sqrt3}{16}\Big)$

（3 分）

(ii) 解方程

3^x\times2^{x+4}=6,

用 $a$ 表示答案，并化为最简形式。（4 分）

解答

(i)

解法一

思路

展开

这里我们需要使用对数的运算法则（Laws of logarithms）将表达式展开：

对数的乘方律： $\log_b (X^k) = k \log_b X$
对数的相除商律： $\log_b \Big(\dfrac{X}{Y}\Big) = \log_b X - \log_b Y$

(a) 将 9 写为幂的形式： $9 = 3^2$ 。

\begin{align*} \log_2 9=&\,\log_2 (3^2)\\ =&\,2\log_2 3 \end{align*}

代入已知条件 $a = \log_2 3$ 即可。

(b) 使用商的运算法则展开：

\log_2\Big(\frac{\sqrt3}{16}\Big) = \frac12\log_2 3 - \log_2 16

因为 $\sqrt3=3^{1/2}$ ，且 $16 = 2^4$ ，所以 $\log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4$ 。代入 $a$ 即可。

答题过程

展开

(a) Since $9 = 3^2$ :

\begin{align*} \log_2 9 =&\, \log_2 (3^2) \\ =&\, 2\log_2 3 \\ =&\, 2a \end{align*}

(b) Using the division law of logarithms:

\begin{align*} \log_2\Big(\frac{\sqrt3}{16}\Big) =&\, \frac12\log_2 3 - \log_2 16 \\ =&\, \frac a2 - \log_2 (2^4) \\ =&\, \frac a2 - 4 \end{align*}

(ii)

解法一：取以 2 为底的对数

思路

展开

我们需要求解指数方程 $3^x \times 2^{x + 4} = 6$ ，最终答案需用 $a$ 表达。两边同时取以 2 为底的对数：

\log_2 \Big(3^x \times 2^{x+4}\Big) = \log_2 6

利用对数的相乘积律展开左边，相乘积律展开右边：

\log_2 (3^x) + \log_2 (2^{x+4}) = \log_2 (3 \times 2)

x\log_2 3 + (x+4)\log_2 2 = \log_2 3 + \log_2 2

代入已知值 $\log_2 3 = a$ 和 $\log_2 2 = 1$ ：

x \cdot a + (x + 4) \cdot 1 = a + 1

整理方程并解出 $x$ ：

\begin{align*} ax + x + 4=&\,a + 1\\ x(a + 1)=&\,a - 3\\ x=&\,\frac{a - 3}{a + 1} \end{align*}

答题过程

展开

Take logarithms to base $2$ on both sides of the equation:

\log_2 \Big( 3^x \times 2^{x+4} \Big) = \log_2 6

Applying the multiplication law of logarithms to expand the left-hand side:

\log_2 (3^x) + \log_2 (2^{x+4}) = \log_2 (3 \times 2)

Using the power law of logarithms and the identity $\log_2 2 = 1$ :

x\log_2 3 + (x + 4)\log_2 2 = \log_2 3 + \log_2 2

Substitute $a = \log_2 3$ into the equation:

x \cdot a + (x + 4) \cdot 1 = a + 1

Expand and gather terms in $x$ :

\begin{align*} ax + x + 4 =&\, a + 1 \\ x(a + 1) =&\, a + 1 - 4 \\ x(a + 1) =&\, a - 3 \\ x =&\, \frac{a - 3}{a + 1} \end{align*}

解法二：统一底数，比较指数

思路

展开

由 $a=\log_2 3$ 得 $3=2^a$ ，所以 $6=2^{a+1}$ 。将方程两边都写成以 2 为底的幂后，直接比较指数，不必再取对数。

答题过程

展开

Since $3=2^a$ , the equation becomes

\begin{align*} (2^a)^x\times2^{x+4}=&\,2^{a+1}\\ 2^{ax+x+4}=&\,2^{a+1}. \end{align*}

Equating the exponents and solving,

\begin{align*} ax+x+4=&\,a+1\\ x(a+1)=&\,a-3\\ x=&\,\frac{a-3}{a+1}. \end{align*}

解法三：先合并指数项

思路

展开

将 $2^{x+4}$ 写成 $16\times2^x$ ，把同指数的两个因子合并为 $6^x$ 。可以直接取以 6 为底的对数，再换成底数 2，用 $a$ 表示答案。

答题过程

展开

\begin{align*} 16\times 3^x\times2^x=&\,6\\ 6^x=&\,\frac38\\ x=&\,\log_6\frac38\\ =&\,\frac{\log_2(3/8)}{\log_2 6}\\ =&\,\frac{\log_2 3-\log_2 8}{\log_2 3+\log_2 2}\\ =&\,\frac{a-3}{a+1}. \end{align*}

解法四：移项后取自然对数

思路

展开

把原式右边的因子 2、3 分别移到左边相应底数的项，得到 $2^{x+3}=3^{1-x}$ 。取自然对数后，用换底公式 $\ln3/\ln2=a$ 化简。

答题过程

展开

Rearranging the original equation gives

2^{x+3}=3^{1-x}.

Taking natural logarithms,

\begin{align*} (x+3)\ln2=&\,(1-x)\ln3\\ x+3=&\,a(1-x)\\ x(a+1)=&\,a-3\\ x=&\,\frac{a-3}{a+1}. \end{align*}

P2 2022 Oct Q10

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一：取以 2 为底的对数

思路

答题过程

解法二：统一底数，比较指数

思路

答题过程

解法三：先合并指数项

思路

答题过程

解法四：移项后取自然对数

思路

答题过程