曲线 $C$ 的方程为 $y=\mathrm{f}(x)$，其中 $\mathrm{f}(x)=(2-kx)^5$，$k$ 是常数。

已知 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $4x-5$ 的余数为 $243/32$。

(a) 证明 $k=2/5$。（2 分）

(b) 求 $(2-\frac25x)^5$ 的二项式展开中按 $x$ 升幂排列的前三项，将每一项写成最简形式。（3 分）

使用 (b) 的结果，并清楚展示方法，

(c) 求曲线 $C$ 在 $x=0$ 处的斜率。（2 分）

根据余数定理（Remainder Theorem），当多项式 $\mathrm{f}(x)$ 除以一次因式 $(ax - b)$ 时，所得的余数等于 $\mathrm{f}\Big(\dfrac{b}{a}\Big)$。 在本题中，除式为 $4x - 5$，令其为零得到 $x = \dfrac{5}{4}$。 因此余数可以表示为 $\mathrm{f}\Big(\dfrac{5}{4}\Big)$，我们将其代入原方程并等于已知余数 $\dfrac{243}{32}$：

由于 $243 = 3^5$ 且 $32 = 2^5$，上式右边即为 $\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^5$。两边同时开五次方根即可解出 $k$。

According to the Remainder Theorem, when $\mathrm{f}(x)$ is divided by $(4x - 5)$, the remainder is $\mathrm{f}\Big(\dfrac{5}{4}\Big)$.

Given that the remainder is $\dfrac{243}{32}$:

Taking the $5\text{th}$ root of both sides:

题目给出了要证明的 $k$。代入 $k=2/5$，用余数定理验证除以 $4x-5$ 的余数恰为 $243/32$；五次方在实数范围内单调，因此这个值是唯一的。

For $k=2/5$, the Remainder Theorem gives

This is the given remainder, so $k=2/5$, as required.

使用二项式定理（Binomial Theorem）展开式公式：

这里 $a = 2$，$b = -\dfrac{2}{5}x$，$n = 5$。我们需要求前三项（即含 $x^0$, $x^1$ 和 $x^2$ 的项），并将其系数化简到最简形式。

Using the binomial expansion formula for $\Big(2 - \dfrac{2}{5}x\Big)^5$:

Thus, the first three terms in ascending powers of $x$ are:

先提取 $2^5=32$，再展开 $(1-x/5)^5$。先处理括号内的较小系数，最后乘回 32。

The first three terms are $32-32x+\dfrac{64}{5}x^2$.

曲线 $C$ 在某一点处的斜率（Gradient）等于其导数 $\mathrm{f}'(x)$ 在该点的值。 题目要求**“利用 (b) 的结论”**，因此我们需要将 (b) 中求得的展开式对 $x$ 求导：

省略项都至少含 $x^3$；求导后都至少含 $x^2$，在 $x=0$ 时为零。因此求导后代入 $x=0$，可得 $\mathrm{f}'(0) = -32$。

From part (b), the expansion of $C: y = \mathrm{f}(x)$ for the first three terms is:

Differentiating with respect to $x$:

At the point where $x = 0$:

Therefore, the gradient of $C$ at $x = 0$ is $-32$.

仅作验算，不能代替题目指定的使用 (b) 的方法。我们也可以直接对原函数 $(2 - \frac{2}{5}x)^5$ 运用链式法则（Chain Rule）求导并代入 $x = 0$。

We can differentiate the original function $y = \Big(2 - \dfrac{2}{5}x\Big)^5$ using the chain rule:

At the point where $x = 0$: