数列 $a_1,a_2,a_3,\dots$ 的通项为

(a) 求 (i) $a_1$、(ii) $a_2$、(iii) $a_3$ 的精确值。（3 分）

(b) 由此求下列和的精确值，并清楚展示方法。（4 分）

本题直接将项数 $n = 1, 2, 3$ 分别代入已知通项公式中，利用三角函数的特殊角值进行计算，并平方得到结果。 注意：这里的自变量是弧度制（radians）。

• 对于 $n=1$：$\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}$。
• 对于 $n=2$：$\cos(2\pi/3) = -\frac{1}{2}$。
• 对于 $n=3$：$\cos(\pi) = -1$。

(i) For $n = 1$:

(ii) For $n = 2$:

(iii) For $n = 3$:

根据求和性质，我们可以将原求和式拆分为两个独立的部分进行求和：

第一部分：$\sum_{n=1}^{50} n$ 这是一个首项为 1、末项为 50、公差为 1 的等差数列（Arithmetic Progression）。 我们可以直接使用等差数列前 $N$ 项和公式：

第二部分：$\sum_{n=1}^{50} \cos^2\Big(\frac{n\pi}{3}\Big)$（即 $\sum_{n=1}^{50} a_n$） 通过 (a) 中的计算，我们发现这个数列具有周期性（Periodic sequence），周期为 3。 其循环的数值序列为：$\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, 1, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, 1, \dots$ 每一周期（3 项）的和为：

求和区间从 $n=1$到 $n=50$，共有 50 项。因为 $50 = 16 \times 3 + 2$，所以这 50 项包含 16 个完整的周期，外加最后余下的 2 项（这 2 项对应下一周期的前两项，即 $a_{49} = \dfrac{1}{4}$，$a_{50} = \dfrac{1}{4}$）。 所以第二部分的和为：

两部分相加得到最终答案。

We can split the summation into two parts:

Part 1: Evaluating $\sum_{n=1}^{50} n$

This is the sum of an arithmetic progression with first term $1$, last term $50$, and $50$ terms:

Part 2: Evaluating $\sum_{n=1}^{50} \cos^2\Big(\frac{n\pi}{3}\Big)$

Let $a_n = \cos^2\Big(\frac{n\pi}{3}\Big)$. From part (a), the sequence is periodic with a period of 3:

The sum of terms in one complete cycle of 3 terms is:

For $50$ terms, we have:

This means there are $16$ complete cycles and $2$ extra terms ($a_{49}$ and $a_{50}$):

Total Summation

Adding the two parts together:

由 (a) 得数列按 $1/4,1/4,1$ 循环。前 50 项里有 16 个 3 的倍数，对应的项为 1；余下 34 项均为 $1/4$。分别数出次数后相加，再加上 $1+2+\cdots+50$。

From part (a), $a_n=1$ when $n$ is a multiple of 3, and $a_n=1/4$ otherwise.

Among $n=1,\ldots,50$, there are 16 multiples of 3 and 34 other integers. Hence

Therefore