题目

Problem

The weight of a baby mammal is monitored over a 16-month period.

The weight of the mammal, $w\text{ kg}$ , is given by

w = \log_a(t + 5) - \log_a 4 \qquad 2 \leqslant t \leqslant 18

where $t$ is the age of the mammal in months and $a$ is a constant.

Given that the weight of the mammal was $10\text{ kg}$ when $t = 3$

(a) show that $a = 1.072$ correct to 3 decimal places.

(3)

Using $a = 1.072$

(b) find an equation for $t$ in terms of $w$

(3)

(2)

题目中文翻译

在 16 个月的期间内监测一只幼年哺乳动物的体重。体重为 $w$ 千克，满足

w=\log_a(t+5)-\log_a4,\qquad 2\leqslant t\leqslant18,

其中 $t$ 是以月计的年龄， $a$ 为常数。

已知 $t=3$ 时体重为 10 千克。

(a) 证明 $a=1.072$ ，精确到三位小数。（3 分）

使用 $a=1.072$ ，

(b) 求用 $w$ 表示 $t$ 的方程。（3 分）

解答

(a)

解法一

思路

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首先，代入已知条件 $t = 3$ 和 $w = 10$ ：

\begin{align*} 10=&\,\log_a(3 + 5) - \log_a 4\\ =&\,\log_a 8 - \log_a 4 \end{align*}

利用对数的相减法则（ $\log_a X - \log_a Y = \log_a \frac{X}{Y}$ ）化简右边：

\begin{align*} 10=&\,\log_a \Big(\frac{8}{4}\Big)\\ =&\,\log_a 2 \end{align*}

将对数式改写为指数式（如果 $\log_a X = Y$ 则 $a^Y = X$ ）：

\begin{align*} a^{10}=&\,2\\ a=&\,2^{1/10} = \sqrt[10]{2} \end{align*}

使用计算器求出具体数值：

a \approx 1.07177346...

四舍五入到三位小数为 $1.072$ 。

答题过程

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Substitute $t = 3$ and $w = 10$ into the equation:

\begin{align*} 10 =&\, \log_a(3 + 5) - \log_a 4 \\ 10 =&\, \log_a 8 - \log_a 4 \end{align*}

Applying the subtraction law of logarithms ( $\log_a X - \log_a Y = \log_a \dfrac{X}{Y}$ ):

\begin{align*} 10 =&\, \log_a\Big(\frac{8}{4}\Big) \\ 10 =&\, \log_a 2 \end{align*}

Converting the logarithmic equation into exponential form:

\begin{align*} a^{10} =&\, 2 \\ a =&\, 2^{\frac{1}{10}} \\ a =&\, 1.071773... \\ a \approx&\, 1.072 \quad (\text{to 3 decimal places}) \quad \text{(proven)} \end{align*}

解法二：取对数求底数

思路

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代入 $t=3$ 、 $w=10$ 并合并对数，得到 $a^{10}=2$ 。也可以两边取自然对数，先求 $\ln a$ ，再指数化求 $a$ 。

答题过程

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\begin{align*} 10=&\,\log_a 8-\log_a4\\ =&\,\log_a2\\ a^{10}=&\,2\\ 10\ln a=&\,\ln2\\ a=&\,e^{(\ln2)/10}\\ =&\,1.071773\ldots\\ \approx&\,1.072. \end{align*}

Therefore $a=1.072$ to 3 decimal places.

(b)

解法一：先合并对数项

思路

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我们需要将 $w$ 关于 $t$ 的方程变形，将 $t$ 孤立出来。已知 $a = 1.072$ ：

w = \log_{1.072}(t + 5) - \log_{1.072} 4

首先，利用对数商的运算法则将右侧两个对数项合并为一个对数项：

w = \log_{1.072}\Big(\frac{t + 5}{4}\Big)

转化为指数式：

\begin{align*} 1.072^w=&\,\frac{t + 5}{4}\\ 4 \times 1.072^w=&\,t + 5\\ t=&\,4 \times 1.072^w - 5 \end{align*}

答题过程

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Using the subtraction law of logarithms:

\begin{align*} w =&\, \log_{1.072}(t + 5) - \log_{1.072} 4 \\ w =&\, \log_{1.072}\Big(\frac{t + 5}{4}\Big) \end{align*}

Converting to exponential form:

\begin{align*} 1.072^w =&\, \frac{t + 5}{4} \\ 4 \times 1.072^w =&\, t + 5 \\ t =&\, 4 \times 1.072^w - 5 \end{align*}

解法二：先移项，再运用指数性质

思路

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首先，通过移项将含有 $t$ 的对数项孤立在等式一侧：

\log_{1.072}(t + 5) = w + \log_{1.072} 4

然后以 $1.072$ 为底数，对等式两边进行指数化，并利用指数乘法性质展开右边：

\begin{align*} t+5=&\,1.072^{w + \log_{1.072} 4}\\ =&\,1.072^w \times 1.072^{\log_{1.072} 4}\\ =&\,1.072^w \times 4 \end{align*}

从而解出 $t$ 。

答题过程

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Rearranging the log equation to isolate the term with $t$ :

\begin{align*} \log_{1.072}(t + 5) =&\, w + \log_{1.072} 4 \end{align*}

Taking base $1.072$ exponentiation on both sides:

\begin{align*} t + 5 =&\, 1.072^{w + \log_{1.072} 4} \\ t + 5 =&\, 1.072^w \times 1.072^{\log_{1.072} 4} \\ t + 5 =&\, 1.072^w \times 4 \\ t =&\, 4 \times 1.072^w - 5 \end{align*}

(c)

解法一

思路

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卓老师温馨提醒

本题指定使用 $a=1.072$ 。使用精确底数 $2^{1/10}$ 会得到 6.31，失去本小题最终答案的准确分；不是整题零分。

代入 $w = 15$ 到 (b) 部分求得的表达式中：

t = 4 \times 1.072^{15} - 5

利用计算器计算并保留 3 位有效数字（3 significant figures）。

答题过程

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Substitute $w = 15$ and $a = 1.072$ into the equation derived in part (b):

\begin{align*} t =&\, 4 \times 1.072^{15} - 5 \\ =&\, 4 \times 2.837407944... - 5 \\ =&\, 11.349631777... - 5 \\ =&\, 6.349631777... \\ \approx&\, 6.35 \quad (\text{to 3 significant figures}) \end{align*}

(Note: If the exact value $a = 2^{\frac{1}{10}}$ were used instead, the result would be $t = 4 \times 2^{1.5} - 5 \approx 6.31$ , which is not accepted under the marking criteria.)

P2 2022 Oct Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二：取对数求底数

思路

答题过程

(b)

解法一：先合并对数项

思路

答题过程

解法二：先移项，再运用指数性质

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程